Gf(2)[x]mod(x^2+1)
时间: 2023-11-06 15:06:08 浏览: 57
在GF(2)[x]上对多项式x^2+1取模,即求模x^2+1的余式,可以得到以下结果:
x^2 ≡ -1 (mod x^2+1)
因为GF(2)中只有0和1两个元素,所以可以进一步得到:
x^2 ≡ 1 (mod 2)
根据模运算的性质,可以将x^2+1表示成2的倍数加上1的形式:
x^2+1 = 2( x^2/2 ) + 1
所以可以将模x^2+1的余式表示成以下形式:
ax + b
其中a、b均为GF(2)中的元素,且a和b分别为x和1的系数。
因此,GF(2)[x]mod(x^2+1)可以表示为:
GF(2)[x]mod(x^2+1) = {0, 1, x, x+1}
这里的加法和乘法都是在GF(2)中进行的。
相关问题
在扩展域GF(2^8)中,计算(x^5+x^2+x^1)(x^7+x^4+x^3+x^2+x^1)的结果,其中使用表示扩展域中多项式乘法,不可约多项式为:P(x)=x^8+x^4+x^3+x^1+1
首先需要将多项式中的指数转换为二进制形式,即将x^5 x^2 x^1表示为10110,将x^7 x^4 x^3 x^2 x^1表示为111011。
然后利用GF(2^8)中的多项式乘法,将它们相乘:
10110 × 111011 =
111011
+1110110
+11101100
= 11000110
最后将结果转换为多项式形式,即为x^7 x^6 x^1。
因为GF(2^8)中的域元素只有8位,所以需要对结果进行模P(x)的运算,即将结果除以P(x)并取余数:
x^7 x^6 x^1 ÷ P(x) =
x^7 x^6 x^1 / (x^8 x^4 x^3 x^1 1) = x^3 x^2
x^7 x^6 x^1 mod P(x) =
x^7 x^6 x^1 - x^3 x^2 × (x^8 x^4 x^3 x^1 1) =
x^7 x^6 x^1 + x^11 x^8 x^7 x^3 - x^3 x^2 =
x^11 x^8 x^7 x^3 + x^7 x^6 x^1 + x^3 x^2
因为x^11 > P(x),所以需要继续对结果进行模P(x)的运算:
x^11 x^8 x^7 x^3 + x^7 x^6 x^1 + x^3 x^2 mod P(x) =
x^3 x^2 + x^7 x^6 x^1
所以,(x^5 x^2 x^1)(x^7 x^4 x^3 x^2 x^1)在扩展域GF(2^8)中的结果为x^3 x^2 + x^7 x^6 x^1。
GF(2)[X]mod(x^3+x+1)构成有限域吗
GF(2)[X]mod(x^3+x+1)并不构成一个有限域,因为它不满足有限域的某些性质。
首先,GF(2)[X]mod(x^3+x+1)是一个有限环,因为它是一个模2的多项式环,且x^3+x+1是一个不可约多项式。因此,GF(2)[X]mod(x^3+x+1)是一个有限环。
然而,GF(2)[X]mod(x^3+x+1)并不满足有限域的乘法逆元的存在性。具体来说,我们可以证明x^2+x+1在GF(2)[X]mod(x^3+x+1)中没有乘法逆元。如果存在一个多项式f(x)使得(f(x))(x^2+x+1) ≡ 1 (mod x^3+x+1),那么(f(x))(x^2+x+1) - 1就是x^3+x+1的倍数,且它的次数不高于2。因此,我们可以将(f(x))(x^2+x+1) - 1表示为a(x)(x^3+x+1) + b(x)(x^2+x+1),其中a(x)和b(x)是GF(2)[X]中的多项式。由于x^2+x+1不是x^3+x+1的倍数,因此b(x)必须是一个非零多项式。然而,这意味着(b(x))(x^2+x+1)的次数至少为3,与其等于(f(x))(x^2+x+1) - 1的次数不符。因此,x^2+x+1在GF(2)[X]mod(x^3+x+1)中没有乘法逆元。
因此,GF(2)[X]mod(x^3+x+1)并不是有限域,它是一个有限环但不是一个域。
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