求GF(3)[x]上多项式x^6+x^3+1、x^2+x+1的最大公因式
时间: 2023-10-17 16:05:59 浏览: 38
首先,我们可以使用欧几里得算法来计算多项式的最大公因式。欧几里得算法的基本思想是求出两个数的余数,然后用较小的数去除较大的数,直到余数为零为止。在多项式的情况下,我们需要使用多项式除法来计算余数。
对于多项式x^6+x^3+1和x^2+x+1,我们可以使用以下步骤来计算它们的最大公因式:
1. 将x^6+x^3+1除以x^2+x+1,得到商为x^4-x^2+1,余数为0。
x^4 - x^2 + 1
x^2 + x + 1 | x^6 + x^3 + 1
x^6 + x^3 + x^2
-------------
-x^2 + 1
-x^2 - x - 1
------------
2x + 2
2. 将x^2+x+1除以2x+2,得到商为(1/2)x-1/2,余数为1。
1
2x + 2 | -x^2 + 1
2x + 2
-----
-1
-1
3. 将2x+2除以-1,得到商为-2,余数为0。
因此,x^6+x^3+1和x^2+x+1的最大公因式为x^2+x+1。
需要注意的是,在GF(3)[x]上进行计算时,所有系数都需要对3取模。例如,2+2=1(mod 3),因为2+2=4,而4模3的余数为1。
相关问题
抽象代数:求GF(3)[3]上多项式x^6+x^3+1、x^2+x+1的最大公因式
在有限域GF(3)上,我们可以使用欧几里得算法来求最大公因式。
首先,我们要对多项式进行标准化,即将所有系数限制在0、1、2三个数中。因此,原多项式变为x^6+x^3+2、x^2+x+1。
然后,我们进行第一次除法:
x^6 + x^3 + 2 = (x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x + 1)(x^2 + x + 1) - (x + 1)
我们得到余数x+1,继续进行下一轮除法:
x^2 + x + 1 = (x+2)(x+1) + 1
此时余数为1,除数为最大公因式,即gcd(x^6+x^3+2,x^2+x+1) = 1。
因此,在GF(3)[x]上,多项式x^6+x^3+1和x^2+x+1的最大公因式为1。
抽象代数:求GF(3)[x]上多项式x^6+x^3+1、x^2+x+1的最大公因式
在GF(3)[x]上,我们可以使用辗转相除法来求解多项式的最大公因式。
首先,我们用长除法计算x^6+x^3+1除以x^2+x+1的商和余数:
x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x
___________
x^2 + x + 1 | x^6 + x^3 + 1
x^6 + x^5 + x^4
-------------------
2x^5 + x^4 + x^3
2x^5 + 2x^4 + 2x^3
-------------------
2x^4 + x^3 + 1
2x^4 + 2x^3 + 2x^2
-------------------
2x^2 + x + 1
因此,我们得到了x^6+x^3+1和x^2+x+1的商为x^4+2x^3+2x^2+x,余数为2x^2+x+1。
接下来,我们用长除法计算x^2+x+1除以2x^2+x+1的商和余数:
2x
_______
2x^2 + x + 1 | x^2 + x + 1
2x^2 + x
-----------
0
因此,2x^2+x+1是x^6+x^3+1和x^2+x+1的最大公因式。
因为GF(3)只有3个元素,所以我们可以将多项式中所有系数模3,得到最简形式:x^2+2x+1。