常规高次方程转换为状态空间方程
时间: 2023-12-06 09:42:39 浏览: 21
假设我们有一个$n$阶常规高次方程:
$$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=f(t)$$
其中$y^{(n)}$表示$y$的第$n$阶导数,$y'$表示$y$的一阶导数,$a_n\neq 0$。
我们可以将其转换为状态空间方程。首先,引入状态变量:
$$x_1=y,x_2=y',x_3=y'',\cdots,x_n=y^{(n-1)}$$
将$x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$堆叠成向量$x$:
$$x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}$$
则原方程可以写成:
$$\begin{cases}x_1'=x_2\\x_2'=x_3\\x_3'=x_4\\\vdots\\x_{n-1}'=x_n\\a_nx_n'+a_{n-1}x_{n-1}'+\cdots+a_1x_2+a_0x_1=f(t)\end{cases}$$
将上述方程写成向量形式:
$$\begin{cases}x'=\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\0&0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&0\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\vdots\\1/a_n\end{bmatrix}f(t)\\y=\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots&0\end{bmatrix}x\end{cases}$$
其中,$x'$表示$x$的一阶导数,$\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\0&0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&0\end{bmatrix}$是一个$n\times n$的矩阵,$\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\vdots\\1/a_n\end{bmatrix}$是一个$n\times 1$的列向量。
因此,我们成功将$n$阶常规高次方程转换为了状态空间方程。
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