(~A并B)交(A并~B)等价于(A交B)并(~A交~B)公式推导证明
时间: 2024-01-12 21:04:34 浏览: 33
首先,我们可以使用德摩根定律将原始公式展开:
(~A∪B)∩(A∩~B)
接下来,我们可以使用分配律将交集展开:
(~A∪B)∩A∩~B
我们可以使用结合律重新排列交集项:
A∩(~A∪B)∩~B
现在,我们可以使用分配律将交集项 A∩(~A∪B)展开:
(A∩~A)∪(A∩B)
因为 A∩~A 是一个空集,所以:
(A∩~A)∪(A∩B) = A∩B
现在,我们可以将 A∩B 代入原始公式中的右边部分:
(A∪B)∩(A∩~B)∩(~A∪~B)
=(A∪B)∩A∩~B∩(~A∪~B)
=(A∪B)∩(A∩~B)∩~A∩~B
我们可以使用德摩根定律将左侧的并集转换为交集:
(A∪B)∩(A∩~B)∩~A∩~B
=(A∩B)∪(B∩~A)∩~A∩~B
我们可以使用分配律将交集项展开:
(A∩B)∪(B∩~A∩~B)∩~A∩~B
因为 B∩~A∩~B 是空集,所以:
(A∩B)∪(B∩~A∩~B)∩~A∩~B = A∩B∪∅
因此,我们证明了:
(~A∪B)∩(A∩~B) = (A∩B)∪(B∩~A∩~B) = A∩B
这证明了原始公式。
相关问题
~A并B)交(A并~B)等价于(A交B)并(~A交~B)证明公式推导
首先,我们可以使用分配律将交集展开:
(A∩B)∩(~A∩~B)
然后,我们可以使用德摩根定律将两个补集展开:
(A∩B)∩(~A∩~B)
=(A∩B)∩~A∩~B
=(A∩~A)∩(B∩~B)
因为 A∩~A 和 B∩~B 都是空集,所以:
(A∩B)∩~A∩~B = ∅
所以,原始等式左边是空集。
现在让我们看看右边:
(A∪B)∩(A∩~B)∩(~A∪~B)
我们可以使用分配律将并集展开:
(A∪B)∩(A∩~B)∩~A∩~B
因为 A∩~B 包含在 A 中,所以 A∩~B 也包含在 A∪B 中。同样地,~A∩~B 包含在 ~A 中,所以 ~A∩~B 也包含在 ~A∪~B 中。因此,我们可以简化右边的公式:
(A∪B)∩(A∩~B)∩~A∩~B
=(A∩~B)∩~A∩~B
=(A∩~A)∩(~B∩~B)
=∅
所以,右边的公式也是空集。
因此,我们证明了:
(A∩B)∩(~A∩~B) = (A∪B)∩(A∩~B)∩(~A∪~B) = ∅
这证明了原始公式。
(~A并B)交(A并~B)等价于(A交B)并(~A交~B)证明
可以通过真值表的方式来证明这个等式。
| A | B | ~A | ~B | ~A并B | A并~B | (~A并B)交(A并~B) | A交B | ~A交~B | (A交B)并(~A交~B) |
|---|---|----|----|--------|--------|-------------------------|------|--------|--------------------------|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
从上表可以看出,两个式子在所有情况下的取值是相等的,因此(~A并B)交(A并~B)等价于(A交B)并(~A交~B)。证毕。