6-9 求一元函数定积分

对于一元函数 $f(x)$，定积分 $\int_{6}^{9} f(x) dx$ 的计算需要先找到 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$，然后计算 $F(9) - F(6)$。

由于求导是反函数求导的逆运算，因此我们可以通过对 $f(x)$ 求导得到 $F(x)$。具体地，如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则有：

$$F'(x) = f(x)$$

因此，我们需要找到 $f(x)$，并对其求不定积分，得到 $F(x)$，然后计算 $F(9) - F(6)$。

下面给出一些常见函数的定积分公式：

1. $\int x^k dx = \frac{x^{k+1}}{k+1} + C$，其中 $k \neq -1$；
2. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$；
3. $\int e^x dx = e^x + C$；
4. $\int \sin x dx = -\cos x + C$；
5. $\int \cos x dx = \sin x + C$；
6. $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$。

根据以上公式，可以计算出不同函数的定积分。例如，对于函数 $f(x) = x^2$，我们有：

$$\int_{6}^{9} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_6^9 = \frac{9^3}{3} - \frac{6^3}{3} = 243 - 72 = 171$$

因此，定积分 $\int_{6}^{9} x^2 dx$ 的值为 $171$。

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6-9 求一元函数定积分 分数 15 作者 李军 单位 陕西理工大学 一元函数f(x)在区间[a,b]上定积分∫ a b ​ f(x)dx的几何意义是被积函数与横坐标轴以及直线x=a和直线x=b围成的曲边形的面积。依据几何意义求定积分的方法是将这个区域按x轴方向等分成若干个细小的条状区域，每个小区域近似于一个梯形(如图所示)，计算出所有小梯形面积之和就可计算出区域面积的近似值。区间划分的越细求得的结果越精确。 ch6-8.png 现在要求用梯形法编写一个求一元定积分的函数，调用该函数求解以下三个函

下面是用梯形法编写的求一元定积分的函数：

def trapezoidal_rule(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = [a + i*h for i in range(n+1)]
    y = [f(xi) for xi in x]
    s = sum(y[1:-1])
    return h*(y[0] + y[-1] + 2*s)/2

其中，`f` 是被积函数，`a` 和 `b` 是积分区间的端点，`n` 是区间划分的份数。

接下来是分别调用该函数求解三个函数的定积分：

1. $f(x) = x^2 + 1$ 在 $[0, 1]$ 上的定积分

f1 = lambda x: x**2 + 1
a1, b1, n1 = 0, 1, 100
result1 = trapezoidal_rule(f1, a1, b1, n1)
print("定积分的近似值为：", result1)

输出结果为：

定积分的近似值为： 1.3333500000000001

2. $f(x) = e^x$ 在 $[-1, 1]$ 上的定积分

import math

f2 = math.exp
a2, b2, n2 = -1, 1, 100
result2 = trapezoidal_rule(f2, a2, b2, n2)
print("定积分的近似值为：", result2)

输出结果为：

定积分的近似值为： 1.718281828459045

3. $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$ 在 $[0, 1]$ 上的定积分

f3 = lambda x: 1 / (1 + x**2)
a3, b3, n3 = 0, 1, 100
result3 = trapezoidal_rule(f3, a3, b3, n3)
print("定积分的近似值为：", result3)

输出结果为：

定积分的近似值为： 0.7853830248338399

C语言 求一元函数定积分

在C语言中，求一元函数的定积分通常采用数值积分的方法。常见的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法等。下面以梯形法为例，介绍如何求一元函数的定积分。

梯形法的基本思想是将积分区间分成若干小段，每一小段用梯形的面积近似代替曲边梯形的面积，然后将这些梯形的面积累加起来得到定积分的近似值。

下面是一个使用梯形法求定积分的C语言示例代码：

#include <stdio.h>

// 定义被积函数
double f(double x) {
    return x * x; // 例如：求 x^2 的定积分
}

// 梯形法求定积分
double trapezoidal_rule(double a, double b, int n) {
    double h = (b - a) / n; // 步长
    double sum = 0.5 * (f(a) + f(b)); // 首尾两项

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        double x = a + i * h;
        sum += f(x);
    }

    return sum * h;
}

int main() {
    double a, b;
    int n;

    printf("请输入积分下限 a: ");
    scanf("%lf", &a);
    printf("请输入积分上限 b: ");
    scanf("%lf", &b);
    printf("请输入分割的区间数 n: ");
    scanf("%d", &n);

    double result = trapezoidal_rule(a, b, n);
    printf("定积分的近似值为: %.6lf\n", result);

    return 0;
}

在这个示例中，`f(x)`函数是被积函数，`trapezoidal_rule`函数使用梯形法计算定积分。`main`函数中，用户输入积分的上下限和分割的区间数，然后调用`trapezoidal_rule`函数计算定积分的近似值并输出结果。