6-9 求一元函数定积分
时间: 2024-05-18 14:13:03 浏览: 14
对于一元函数 $f(x)$,定积分 $\int_{6}^{9} f(x) dx$ 的计算需要先找到 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$,然后计算 $F(9) - F(6)$。
由于求导是反函数求导的逆运算,因此我们可以通过对 $f(x)$ 求导得到 $F(x)$。具体地,如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数,则有:
$$F'(x) = f(x)$$
因此,我们需要找到 $f(x)$,并对其求不定积分,得到 $F(x)$,然后计算 $F(9) - F(6)$。
下面给出一些常见函数的定积分公式:
1. $\int x^k dx = \frac{x^{k+1}}{k+1} + C$,其中 $k \neq -1$;
2. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$;
3. $\int e^x dx = e^x + C$;
4. $\int \sin x dx = -\cos x + C$;
5. $\int \cos x dx = \sin x + C$;
6. $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$。
根据以上公式,可以计算出不同函数的定积分。例如,对于函数 $f(x) = x^2$,我们有:
$$\int_{6}^{9} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_6^9 = \frac{9^3}{3} - \frac{6^3}{3} = 243 - 72 = 171$$
因此,定积分 $\int_{6}^{9} x^2 dx$ 的值为 $171$。
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6-9 求一元函数定积分 分数 15 作者 李军 单位 陕西理工大学 一元函数f(x)在区间[a,b]上定积分∫ a b f(x)dx的几何意义是被积函数与横坐标轴以及直线x=a和直线x=b围成的曲边形的面积。依据几何意义求定积分的方法是将这个区域按x轴方向等分成若干个细小的条状区域,每个小区域近似于一个梯形(如图所示),计算出所有小梯形面积之和就可计算出区域面积的近似值。区间划分的越细求得的结果越精确。 ch6-8.png 现在要求用梯形法编写一个求一元定积分的函数,调用该函数求解以下三个函
下面是用梯形法编写的求一元定积分的函数:
```python
def trapezoidal_rule(f, a, b, n):
h = (b - a) / n
x = [a + i*h for i in range(n+1)]
y = [f(xi) for xi in x]
s = sum(y[1:-1])
return h*(y[0] + y[-1] + 2*s)/2
```
其中,`f` 是被积函数,`a` 和 `b` 是积分区间的端点,`n` 是区间划分的份数。
接下来是分别调用该函数求解三个函数的定积分:
1. $f(x) = x^2 + 1$ 在 $[0, 1]$ 上的定积分
```python
f1 = lambda x: x**2 + 1
a1, b1, n1 = 0, 1, 100
result1 = trapezoidal_rule(f1, a1, b1, n1)
print("定积分的近似值为:", result1)
```
输出结果为:
```
定积分的近似值为: 1.3333500000000001
```
2. $f(x) = e^x$ 在 $[-1, 1]$ 上的定积分
```python
import math
f2 = math.exp
a2, b2, n2 = -1, 1, 100
result2 = trapezoidal_rule(f2, a2, b2, n2)
print("定积分的近似值为:", result2)
```
输出结果为:
```
定积分的近似值为: 1.718281828459045
```
3. $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$ 在 $[0, 1]$ 上的定积分
```python
f3 = lambda x: 1 / (1 + x**2)
a3, b3, n3 = 0, 1, 100
result3 = trapezoidal_rule(f3, a3, b3, n3)
print("定积分的近似值为:", result3)
```
输出结果为:
```
定积分的近似值为: 0.7853830248338399
```
matlab一元函数数值积分
MATLAB中有一套强大的数值积分工具箱,用于计算一元函数的定积分。其中最常用的是`quad`函数,它可以根据用户提供的函数和积分上下限进行数值积分。`quad`函数的基本语法如下:
```matlab
integral_value = quad(func, a, b)
```
- `func`: 需要积分的函数,可以是标量或向量形式。
- `a`: 积分下限。
- `b`: 积分上限。
例如,如果你想计算函数f(x)在区间[0, 1]上的定积分,可以这样调用:
```matlab
integral_value = quad(@(x) x^2, 0, 1);
```
`quad`函数会返回近似值`integral_value`,但需要注意的是,由于数值积分依赖于数值方法,结果可能会受到函数复杂性、精度要求以及算法收敛性等因素的影响,可能不是绝对精确的。
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