最小二乘法支持向量机原理

最小二乘法支持向量机是一种分类算法，其原理基于最小化误差的思想。其主要思想是通过将数据映射到高维空间中，使得数据在该空间中可以被线性分隔。具体来说，该算法通过寻找一个超平面，使得正负样本点到该超平面的距离最大化，从而实现分类。

具体地，给定一个训练集$D={\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\}}$，其中$x_i$为样本特征向量，$y_i$为其对应的类别标签，$y_i \in \{-1,1\}$。最小二乘法支持向量机的目标是找到一个超平面：$w\cdot x+b=0$，使得所有样本点到该超平面的距离最大。具体来说，对于一个样本点$(x_i,y_i)$，其到超平面的距离为：
$$
distance=\frac{y_i(w\cdot x_i+b)}{\|w\|}
$$
其中$\|w\|$为$w$的模长。

因此，最小二乘法支持向量机的优化目标可以表示为：
$$
\begin{aligned}
\min_{w,b,\xi} & \frac{1}{2}\|w\|^2+C\sum_{i=1}^n\xi_i \\
s.t. & y_i(w\cdot x_i+b)\geq 1-\xi_i, i=1,2,...,n \\
& \xi_i\geq 0, i=1,2,...,n
\end{aligned}
$$
其中，$\xi_i$是松弛变量，C为惩罚因子，用于控制分类误差和模型复杂度之间的平衡。

该优化问题可以通过拉格朗日乘子法转化为对偶问题：
$$
\begin{aligned}
\max_{\alpha} & \sum_{i=1}^n \alpha_i - \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_j(x_i\cdot x_j) \\
s.t. & 0\leq \alpha_i\leq C, i=1,2,...,n \\
& \sum_{i=1}^n\alpha_iy_i=0
\end{aligned}
$$
其中，$\alpha_i$为拉格朗日乘子，$x_i\cdot x_j$表示样本$x_i$和$x_j$的内积。

最终，对于一个新的样本$x$，判断其类别的方法是计算其到超平面的距离，如果其距离大于0，则预测为正类，否则预测为负类。