C语言实现古典隐式格式求解偏微分方程

古典隐式格式是求解偏微分方程的一种常见数值方法，它的特点是每个时间步长的求解需要解一个线性方程组。下面给出C语言实现古典隐式格式求解偏微分方程的代码。

假设要求解的偏微分方程为：

∂u/∂t = α(∂^2u/∂x^2)

其中，α为常数，u为未知函数。

首先，将空间区间[0,1]分为N个等分，时间区间[0,T]分为M个等分，得到网格点(xi, tj)，其中i=0,1,...,N，j=0,1,...,M。设Δx=(xN-x0)/N，Δt=T/M。

然后，将偏微分方程用差分格式离散化，得到：

(u(i,j+1)-u(i,j))/Δt = α(u(i-1,j)-2u(i,j)+u(i+1,j))/Δx^2

将上式中的u(i,j+1)移到左边，得到：

-u(i+1,j) + 2(1+λ)u(i,j) - u(i-1,j) = λu(i,j-1)

其中，λ=αΔt/Δx^2，u(i,j)表示在(xi, tj)处的函数值。

由于每个时间步长的求解需要解一个线性方程组，因此需要使用线性代数库进行求解。这里使用了GNU科学库（GSL）中的函数进行求解，代码如下：

#include <stdio.h>
#include <gsl/gsl_matrix.h>
#include <gsl/gsl_linalg.h>

#define N 100
#define M 1000

int main() {
    double alpha = 1.0;
    double dx = 1.0 / N;
    double dt = 1.0 / M;
    double lambda = alpha * dt / (dx * dx);
    double u[N + 1][M + 1];
    gsl_matrix *A = gsl_matrix_alloc(N - 1, N - 1);
    gsl_vector *b = gsl_vector_alloc(N - 1);
    gsl_permutation *p = gsl_permutation_alloc(N - 1);

    // 初始化边界条件
    for (int i = 0; i <= N; i++) {
        u[i][0] = u[i][M] = 0.0;
    }
    for (int j = 0; j <= M; j++) {
        u[0][j] = u[N][j] = 0.0;
    }

    // 初始化初始条件
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        u[i][0] = sin(i * dx * M_PI);
    }

    // 求解每个时间步长的方程组
    for (int j = 1; j <= M; j++) {
        // 构造系数矩阵和常数向量
        for (int i = 0; i < N - 1; i++) {
            for (int k = 0; k < N - 1; k++) {
                gsl_matrix_set(A, i, k, 0.0);
            }
            gsl_vector_set(b, i, -lambda * u[i + 1][j - 1]);
            if (i > 0) {
                gsl_matrix_set(A, i, i - 1, -1.0);
            }
            gsl_matrix_set(A, i, i, 2.0 * (1.0 + lambda));
            if (i < N - 2) {
                gsl_matrix_set(A, i, i + 1, -1.0);
            }
        }
        // 使用GSL库解线性方程组
        gsl_linalg_LU_decomp(A, p, NULL);
        gsl_linalg_LU_solve(A, p, b, b);
        // 将解赋值给u数组
        for (int i = 1; i < N; i++) {
            u[i][j] = gsl_vector_get(b, i - 1);
        }
    }

    // 输出结果
    for (int i = 0; i <= N; i++) {
        for (int j = 0; j <= M; j++) {
            printf("%f ", u[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    // 释放内存
    gsl_matrix_free(A);
    gsl_vector_free(b);
    gsl_permutation_free(p);

    return 0;
}

需要注意的是，这里只是给出了一个简单的例子，实际应用中可能需要根据实际情况进行调整。