计算P(1,0) 0 0 0 1 2 1 1 0 1 1 2 2 1 0 0 1 1 0 2 0 0 0 1 0 1
时间: 2024-01-03 22:03:00 浏览: 16
这个问题可以理解为在一个 $5 \times 5$ 的矩阵中,从左上角 $(0, 0)$ 走到右下角 $(4, 4)$,只能向右或向下走,经过的格子中值为 $0$ 的格子个数为 $1$,求路径总数。
我们可以使用动态规划来解决这个问题,设 $dp_{i, j}$ 表示从 $(0, 0)$ 走到 $(i, j)$ 中经过的值为 $0$ 的格子个数为 $1$ 的路径总数,则有状态转移方程:
$$
dp_{i, j}=\begin{cases}
0, & \text{if } i < 0 \text{ or } j < 0 \text{ or } (i = 0 \text{ and } j = 0) \text{ or } (i = 1 \text{ and } j = 0)\\
dp_{i-1, j} + dp_{i, j-1}, & \text{if } a_{i, j} = 0\\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
其中 $a_{i, j}$ 表示矩阵中第 $i+1$ 行,第 $j+1$ 列的值。最终的答案即为 $dp_{4, 4}$。
根据上述状态转移方程,我们可以写出 Python 代码:
相关问题
举例计算P(0,1)和P(1,1)
假设有一张大小为3x3的灰度图像,像素值如下所示:
```
2 1 3
1 2 2
3 3 1
```
首先需要确定像素值的灰度级别,这里假设将像素值分为3个灰度级别,即1、2、3三个灰度级别。接下来,计算P(0,1)和P(1,1)。
以P(0,1)为例,我们需要计算在图像中灰度值相邻的像素对出现的概率。在这个例子中,像素值为1的像素和像素值为2的像素在水平方向上相邻,共出现了3次。因此,P(0,1)=3/8=0.375。
同理,P(1,1)表示在图像中灰度级别为 i 和 i+1 的像素对在水平方向上出现的概率。在这个例子中,像素值为1和2的像素对在水平方向上相邻,共出现了2次;像素值为2和3的像素对在水平方向上相邻,共出现了3次。因此,P(1,1)=5/8=0.625。
1 -2 0 0;-1 0 0 0;0 0 2 1;0 0 0 2;求此矩阵的相似矩阵
我们可以使用相似矩阵的定义来求解,即找到一个可逆矩阵 $P$,使得 $P^{-1}AP$ 得到一个相似的矩阵。
首先,我们需要求出矩阵 $A$ 的特征值和特征向量。
$$
\begin{vmatrix}
1-\lambda & -2 & 0 & 0 \\
-1 & -\lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2-\lambda & -1 \\
0 & 0 & 0 & 2-\lambda
\end{vmatrix} = (1-\lambda)(\lambda-2)^2 = 0
$$
解得特征值为 $\lambda_1=1$,$\lambda_2=2$(重根)。
对于特征值 $\lambda_1=1$,我们有:
$$
\begin{pmatrix}
1-1 & -2 & 0 & 0 \\
-1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2-1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 2-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
w
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$
可以得到一个特征向量 $\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$。
对于特征值 $\lambda_2=2$,我们有:
$$
\begin{pmatrix}
1-2 & -2 & 0 & 0 \\
-1 & -2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2-2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 2-2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
w
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$
可以得到两个线性无关的特征向量 $\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$。
将这些特征向量作为列向量组成一个矩阵 $P$:
$$
P = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
计算 $P^{-1}$:
$$
P^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
-\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
计算相似矩阵:
$$
\begin{aligned}
P^{-1}AP &= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
-\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
因此,相似矩阵为 $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$。
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