相对误差限两个数的和、差、积与商的误差估计式

设已知两个数$x$和$y$，它们的相对误差分别为$\Delta x$和$\Delta y$，则它们的和、差、积和商的相对误差分别为：

1.和的相对误差为$\Delta z=\frac{\Delta x+\Delta y}{1+\frac{x}{y}}$；

2.差的相对误差为$\Delta z=\frac{\Delta x+\Delta y}{1-\frac{x}{y}}$；

3.积的相对误差为$\Delta z=\Delta x+\Delta y$；

4.商的相对误差为$\Delta z=\Delta x+\Delta y$。

其中，对于第1和第2个式子，分别适用于$x$和$y$为同号和异号的情况。在实际计算中，为了保证计算结果的准确性，应该尽可能减小相对误差，例如可以采取增加有效数字位数、避免除以接近0的数等措施。

相关问题

相對誤差限和、差、积与商的误差估计式

对于相对误差限，我们可以使用以下的公式进行估计：

$\frac{|\Delta x|}{|x|} \leq \frac{|\Delta a|}{|a|} + \frac{|\Delta b|}{|b|}$

其中，$a$ 和 $b$ 是两个数，$\Delta a$ 和 $\Delta b$ 是它们的误差。

对于和的误差估计，我们可以使用以下公式：

$\Delta (a+b) \leq \Delta a + \Delta b$

对于差的误差估计，我们可以使用以下公式：

$\Delta (a-b) \leq \Delta a + \Delta b$

对于积的误差估计，我们可以使用以下公式：

$\frac{\Delta (ab)}{|ab|} \leq \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|}$

对于商的误差估计，我们可以使用以下公式：

$\frac{\Delta (\frac{a}{b})}{|\frac{a}{b}|} \leq \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|}$

这些公式可以用于估计数值计算中的误差。

假定运算中数据准确到两位小数，计算x=1.21*3.65-9.81的绝对误差限和相对误差限，并给出mathematica的代码求解

在数学中，如果数据的精度固定到两位小数，我们可以假设任何计算结果也将四舍五入到两位。为了计算给定表达式的绝对误差和相对误差，我们需要先确定输入值的精确度，然后再考虑四舍五入的影响。

绝对误差限（Absolute Error Bound, AEB）是通过最大输入误差乘以表达式的最大绝对值来估计的。对于`x = 1.21 * 3.65 - 9.81`，我们首先需要知道`1.21`和`3.65`的小数点后第三位，然后估算四舍五入后的结果。

假设每个数字的最大误差是它们的小数部分的两倍（因为我们将从第二位开始四舍五入），则有：

- 1.21 的误差可能是 0.01 或者 -0.01
- 3.65 的误差可能是 0.02 或者 -0.02

所以，绝对误差限 (`AEB`) 可能是 `(1.21 * 0.02) + (3.65 * 0.02)` 或 `(1.21 * 0.01) + (3.65 * 0.01)` 或其相反数。

相对误差限（Relative Error Bound, REB）通常以百分比形式表示，是绝对误差除以实际值的比率。

现在，让我们用Mathematica计算这个表达式的值以及绝对和相对误差的上限：

(* 数据精度到两位小数 *)
preciseValue = N[1.21 * 3.65 - 9.81, 3];
maxError = Precision[preciseValue]/2;
aeb = Max[(1.21 * maxError), (3.65 * maxError)];
reb = aeb / preciseValue;

{preciseValue, aeb, reb}

运行此代码后，你会看到精确值、绝对误差限 (`AEB`) 和相对误差限 (`REB`)。