应用mathematica求解一维无限深势阱

一维无限深势阱是一个经典的量子力学问题，它的势能函数为：

$V(x) = \begin{cases} 0 & |x|\leq \frac{a}{2} \\ \infty & |x|>\frac{a}{2} \end{cases}$

其中 $a$ 表示势阱的宽度。在无限深势阱内，粒子只能存在于势阱内部，能量为定值 $E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$，其中 $n$ 为正整数，$m$ 为粒子的质量，$\hbar$ 为约化普朗克常量。

在 Mathematica 中，我们可以使用以下代码来求解一维无限深势阱：

(* 定义常数 *)
a = 1; (* 势阱宽度 *)
m = 1; (* 粒子质量 *)
hbar = 1; (* 约化普朗克常量 *)

(* 定义波函数和能量 *)
ψ[x_] := Piecewise[{{Sqrt[2/a], -a/2 <= x <= a/2}, {0, True}}] * Sin[n π x/a];
E[n_] := (n^2 π^2 hbar^2)/(2 m a^2);

(* 绘制前三个能级的波函数 *)
Plot[Evaluate[Table[ψ[x], {n, 1, 3}]], {x, -a/2, a/2}, PlotRange -> All]

在上述代码中，我们首先定义了势阱的宽度 $a$、粒子的质量 $m$、约化普朗克常量 $\hbar$，然后定义了波函数 $\psi(x)$ 和能量 $E_n$ 的表达式。最后，我们使用 `Plot` 函数绘制了前三个能级的波函数。

运行上述代码后，您将得到一个包含前三个能级波函数的图像。您可以通过修改 `Table` 中的参数来绘制更多的能级波函数。