反向传播算法(过程及公式推导)

反向传播算法是一种用于训练人工神经网络的常用方法。它基于链式法则，通过计算每个神经元的误差梯度，将误差从输出层向前传播，以更新网络权重。以下是反向传播算法的过程和公式推导。

1. 前向传播

对于一个神经网络，从输入层开始，通过一系列的矩阵乘法和非线性函数（如sigmoid函数或ReLU函数）的组合，计算出输出层的预测值。这个过程称为前向传播。

2. 计算误差

将预测值与真实值进行比较，计算误差。常用的误差函数包括均方误差和交叉熵等。

3. 反向传播

接下来，需要计算每个神经元的误差梯度，从输出层向前传播误差。假设网络有L层，第l层神经元的误差梯度可以表示为：

$$\delta^{(l)}= \frac{\partial E}{\partial z^{(l)}}$$

其中，$E$是误差函数，$z^{(l)}$是第$l$层的加权输入。根据链式法则，可以将误差梯度从输出层向前传播：

$$\delta^{(L)} = \nabla_a E \odot \sigma'(z^{(L)})$$

其中，$\nabla_a E$是误差函数对输出层激活值$a^{(L)}$的梯度，$\odot$表示元素级别的乘法，$\sigma'$表示sigmoid函数的导数。

对于隐藏层$l$，误差梯度可以表示为：

$$\delta^{(l)} = ((W^{(l+1)})^T \delta^{(l+1)}) \odot \sigma'(z^{(l)})$$

其中，$W^{(l+1)}$是从第$l$层到第$l+1$层的权重矩阵，$(W^{(l+1)})^T$表示其转置。这个公式表明，误差从上一层传递下来，并且乘以激活函数的导数。

4. 更新权重

最后，可以使用误差梯度更新每个权重。假设网络有$L$层，第$l$层到第$l+1$层的权重矩阵为$W^{(l+1)}$，学习率为$\eta$，则权重的更新公式为：

$$W^{(l+1)} = W^{(l+1)} - \eta \delta^{(l+1)} (a^{(l)})^T$$

其中，$(a^{(l)})^T$表示第$l$层的输出值的转置。这个公式表明，权重的更新与误差梯度和输出值有关。

整个反向传播算法就是通过前向传播计算预测值，并通过反向传播计算误差梯度和更新权重的过程。通过多次迭代，最小化误差函数，就能训练出一个神经网络模型。