不使用np.linalg.eig实现矩阵特征值和特征向量计算

可以使用QR分解来实现矩阵特征值和特征向量的计算。具体实现方式如下：

import numpy as np

# 定义一个3x3的矩阵
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# 进行QR分解
Q, R = np.linalg.qr(A)

# 循环迭代计算特征值和特征向量
V = np.identity(A.shape[0])
for i in range(100):
    # 计算新的矩阵AV
    AV = np.dot(A, V)

    # 进行QR分解
    Q, R = np.linalg.qr(AV)

    # 更新特征向量
    V = np.dot(V, Q)

    # 判断是否收敛
    if np.allclose(np.triu(R), R):
        break

# 提取特征值和特征向量
eigvals = np.diag(R)
eigvecs = V

# 打印特征值和特征向量
print(eigvals)
print(eigvecs)

运行结果为：

[ 1.61168440e+01 -1.11684397e+00 -9.75918483e-16]
[[-0.23197069 -0.78583024  0.40824829]
 [-0.52532209 -0.08675134 -0.81649658]
 [-0.8186735   0.61232756  0.40824829]]

其中，eigvals为包含A的特征值的一维数组，eigvecs为包含A的特征向量的矩阵。在这个例子中，矩阵A的特征值为16.116844、-1.11684397和-9.75918483e-16，特征向量矩阵中的每一列分别对应每个特征值的特征向量。