排队找零问题 使用递归分析

排队找零问题可以使用递归来解决。具体来说，我们可以定义一个递归函数 $f(i, c)$，表示考虑前 $i$ 个人，剩余 $c$ 元钱时，需要找的最少零钱数。

对于 $f(i, c)$，我们可以考虑两种情况：

- 第 $i$ 个人不需要找零，即 $p_i \le c$。这种情况下，我们直接将 $p_i$ 元钱给这个人，然后递归处理后面的人，即 $f(i, c) = f(i+1, c-p_i)$。
- 第 $i$ 个人需要找零，即 $p_i > c$。这种情况下，我们需要找给这个人一些零钱，使得他能够支付 $p_i$ 元钱。我们可以枚举他用来支付的零钱面值 $q$，则他需要找给他的零钱数为 $q-p_i$，然后我们递归处理后面的人，即 $f(i, c) = \min_{q\ge p_i}(f(i+1, c-q) + q-p_i)$。

对于边界情况，当 $i=n$ 时，所有人都已经处理完毕，此时需要找的零钱数为 $0$。因此有 $f(n, c)=0$。

最终我们需要求的答案就是 $f(1, q-p_1)$，即考虑第一个人，剩余 $q-p_1$ 元钱时，需要找的最少零钱数。

时间复杂度为 $O(n^2 q)$，因为需要考虑每个人和每个面值的零钱。实际上可以通过记忆化搜索来优化时间复杂度。

相关问题

递归实现排队找零问题

排队找零问题可以使用递归来实现。以下是一个简单的示例代码，可以实现排队找零的模拟：

def make_change(customers):
    if len(customers) == 0:
        return

    customer = customers[0]
    change = customer.paid - customer.price
    print(f"{customer.name} 支付了 {customer.paid} 元，需要找零 {change} 元。")

    make_change(customers[1:])

这段代码中，`make_change` 函数接受一个参数 `customers`，表示所有的顾客。当 `customers` 为空时，递归结束。否则，取出第一个顾客，计算找零并输出结果，然后递归调用 `make_change` 函数处理剩余的顾客。

你可以调用 `make_change` 函数来模拟排队找零的过程。例如，如果你有一组顾客和商品，你可以这样调用：

customers = [
    Customer("张三", 100, 50),
    Customer("李四", 200, 80),
    Customer("王五", 150, 100),
    Customer("赵六", 120, 60),
    Customer("钱七", 80, 50)
]

make_change(customers)

这将输出以下内容：

张三 支付了 100 元，需要找零 50 元。
李四 支付了 200 元，需要找零 120 元。
王五 支付了 150 元，需要找零 50 元。
赵六 支付了 120 元，需要找零 60 元。
钱七 支付了 80 元，需要找零 30 元。

回溯法解决排队找零问题

排队找零问题指的是某个商店只有若干种面额的钞票，现在要找给顾客一定数量的钱，问有多少种找法。

回溯法可以用来解决排队找零问题。算法的基本思想是：从面额最大的钞票开始尝试，如果当前钞票数目不超过所需找的钱数，则将此钞票放入找零方案中，并递归考虑下一个钞票的使用情况；如果当前钞票数目超过所需找的钱数，则将该钞票去除，递归考虑下一个更小面额的钞票的使用情况。直到找完所有的钞票或者找到了一种合法的找零方案为止。

下面是使用回溯法求解排队找零问题的 Python 代码示例：

def change(coins, amount, used, solutions):
    if amount == 0:  # 找到了一种合法的找零方案
        solutions.append(used[:])
        return
    if amount < 0 or not coins:  # 无法找零或者没有钞票可用
        return
    coin = coins[0]
    max_num = amount // coin  # 可使用的最大钞票数量
    for i in range(max_num + 1):
        used.append((coin, i))
        change(coins[1:], amount - i * coin, used, solutions)
        used.pop()

solutions = []
coins = [1, 5, 10, 20, 50]
amount = 50
change(coins, amount, [], solutions)
print(solutions)

在这个例子中，我们定义了一个函数 `change`，它接受四个参数：`coins` 表示可用的钞票面额列表，`amount` 表示需要找的钱数，`used` 保存当前的找零方案，`solutions` 保存所有的合法找零方案。函数首先判断是否找到了一种合法的找零方案，如果是，则将其加入到 `solutions` 中；否则，依次考虑当前钞票可用的最大数量，并递归求解下一个更小面额钞票的使用情况。

最后，我们将可用的钞票面额列表 `coins`、需要找的钱数 `amount`、一个空列表 `[]` 和一个空列表 `solutions` 作为参数传递给 `change` 函数，并输出所有的合法找零方案。