给定一个堆栈的入栈序列为{ 1, 2, ⋯, n }，出栈序列为{ p 1 ​ , p 2 ​ , ⋯, p n ​ }。如果p 2 ​ =n，则存在多少种不同的出栈序列？

题目描述：给定一个堆栈的入栈序列为{ 1, 2, ⋯, n }，出栈序列为{ p 1 ​ , p 2 ​ , ⋯, p n ​ }。如果p 2 ​ =n，则存在多少种不同的出栈序列？

解题思路：

这是一道典型的用数学方法解决的问题，可以使用数学归纳法来解决。

当n = 1时，只有一种出栈序列。

当n > 1时，最后一个入栈的元素是n，那么第二个出栈的元素p2必定是n。因为在这之前的所有元素都可能成为p2，所以p2之前的元素可以任意排列，而p2之后的元素的出栈顺序必须是{ pn-1, pn-2, …, p3, p1 }的一个排列，共有(n-1)!种可能性。因此，当p2 = n时，有(n-1)!种出栈序列。

因此，当p2 = n时，存在(n-1)!种不同的出栈序列。

回答：存在(n-1)!种不同的出栈序列。

相关问题

给定一个堆栈的入栈序列为{ 1, 2, ⋯, n }，出栈序列为{ p 1 ​ , p 2 ​ , ⋯, p n ​ }。如果p 2 ​ =n，则存在多少种不同的出栈序列

根据出栈序列的定义，我们可以发现，如果一个数在出栈序列中的位置比另一个数靠前，那么这个数一定不能在另一个数的上方（也就是先出栈）。

因此，我们可以考虑用贪心的策略来构造出栈序列。具体来说，我们从左到右遍历入栈序列中的每个数，对于每个数，我们都将其入栈，然后尽可能地将栈顶的数出栈，直到栈顶的数等于当前出栈序列中的下一个数。

这样做的正确性可以通过反证法来证明。假设我们按照上述策略得到的出栈序列与给定的出栈序列不同，那么说明在某个位置上，两个序列的数不同。设这个位置是第i个位置，我们考虑两个数的关系：

- 如果第i个位置上的数在给定的出栈序列中在第j个位置上（j>i），那么我们在构造出栈序列时一定会先将第j个位置上的数出栈，因此第i个位置上的数也一定已经出栈了，与假设矛盾。
- 如果第i个位置上的数在给定的出栈序列中在第j个位置上（j<i），那么我们在构造出栈序列时一定会先将第i个位置上的数出栈，然后再将第j个位置上的数出栈，因此第j个位置上的数也一定已经出栈了，与假设矛盾。

因此，我们得到的出栈序列一定与给定的出栈序列相同。

接下来，我们考虑如何计算有多少种不同的出栈序列。我们可以发现，如果p 2 ​ =n，那么n一定会出现在最后一个位置上，因此我们可以将n从栈中取出，然后考虑剩下的入栈序列{ 1, 2, ⋯, n−1 }和出栈序列{ p 1 ​ , p 2 ​ , ⋯, p n−1 ​ }之间的关系。

设f(i,j)表示剩下的入栈序列为{ i, i+1, ⋯, n−1 }，出栈序列为{ j 1 ​ , j 2 ​ , ⋯, j n−i ​ }时，有多少种不同的出栈序列。其中，j 1 ​ 表示出栈序列中第一个数，j 2 ​ 表示出栈序列中第二个数，以此类推。

我们考虑如何计算f(i,j)。根据上述的贪心策略，我们知道，如果某个数在出栈序列中的位置比另一个数靠前，那么这个数一定不能在另一个数的上方。因此，我们可以考虑当前入栈序列中的第一个数x，它只有两种出栈的可能性：

- x先出栈，然后j 1 ​ 出栈，然后f(i+1,j 2 ​ )种情况；
- j 1 ​ 出栈，然后x出栈，然后f(i+1,j 1 ​ )种情况。

因此，f(i,j)的值可以通过上述两种情况的值之和来计算：

f(i,j) = f(i+1,j 2 ​ ) + f(i+1,j 1 ​ )

初始条件为f(n,1)=1，表示入栈序列为{ n }，出栈序列为{ 1 }时只有一种情况。

最终的答案即为f(1,p 1 ​ )。

给定一个最大容量为 m 的堆栈，将 n 个数字按 1, 2, 3, ..., n 的顺序入栈，允许按任何顺序出栈，则哪些数字序列是不可能得到的？例如给定 m=5、n=7，则我们有可能得到{ 1, 2,

### 回答1：
当最大容量为m的堆栈，将n个数字按照1, 2, 3, ..., n的顺序入栈，允许按任何顺序出栈，则有哪些数字序列是不能得到的？例如给定m=5、n=7，则我们有可能得到{1,2,3,4,5,6,7}。但也有一些数字序列不能得到。

### 回答2：
3， 4， 5， 6， 7 }和{ 2， 1， 4， 3， 6， 5， 7 }等数字序列。

首先，我们需要知道什么是栈。栈是一种后进先出（LIFO）的数据结构，即最后进入栈中的元素先被移除。

对于给定的堆栈容量m和数字数量n，我们可以用以下步骤来探讨哪些数字序列是不可能得到的：

1. 当栈为空时，我们可以将任意数字入栈，直到栈满为止。

2. 如果此时我们想要继续入栈数字，那么只能让已入栈的数字出栈。

3. 如果出栈的数字是按照1，2，3，...，k的顺序从栈顶开始连续的k个数字，那么我们可以将这k个数字一起出栈，然后继续入栈下一个数字。否则，这个数字序列是不可能得到的。

4. 如果我们已经将所有的数字都入栈，并按照规则出栈，那么说明这个数字序列是可能得到的。

例如，对于m=5，n=7的情况，我们可以按照以下过程进行操作：

1. 先将1~5入栈，此时栈内元素为5，4，3，2，1。

2. 将1，2出栈，此时栈内元素为5，4，3，2。

3. 将3，4出栈，此时栈内元素为5，2。

4. 将5出栈，此时栈为空。

5. 将6，7入栈，此时栈内元素为7，6。

6. 将6，7出栈，此时栈为空。

因此，数字序列{ 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 }是可能得到的。对于其他数字序列，只要根据上述步骤，判断其是否符合规则即可。

综上所述，我们可以通过分析栈的特点和按照规则操作栈来判断哪些数字序列是可能得到的。

### 回答3：
3， 4， 5， 6， 7 }，{ 2， 1， 4， 3， 6， 5， 7 }等序列，但是不能得到{ 3， 1， 2， 4， 5， 6， 7 }，因为在出栈过程中，数字 3 后面还有 1 和 2，但是此时栈的容量已经不够，不能让它们出栈。

首先，需要明确一个概念，即 Stack 的容量指的是它可以储存的元素个数，而不是指已经储存了多少个元素。因此，在不清楚 Stack 是否已满时，无法确定哪些数字序列是不可能得到的。

假设有一个最大容量为 m 的 Stack，和 n 个数字需要按照顺序入栈，并且可以按任何顺序出栈。设当前还剩下 k 个数字没有入栈，则对于每个数字，有两种选择：一种是将其入栈，另一种是从栈中弹出。

因此，对于任意一个数 i，如果在入栈时它的位置已经超过了 m，且栈中存在比 i 更小的数 j，则无法按照给定顺序将 i 出栈，因为在 j 出栈前必须先让 i 出栈，而此时栈的容量已经不够。

例如，当 m=5，n=7 时，对于数字序列 3 1 2 4 5 6 7，当 3 入栈时，栈已经满了，无法入栈后面的数字 1 和 2；而当 2 入栈时，栈中已经存在数字 1，无法让 1 出栈，因此无法按照给定的顺序将数字序列 3 1 2 4 5 6 7 出栈。

因此，一个数字序列无法按照给定顺序出栈的条件为：存在某个数 i，满足 i 的入栈位置已经超过了 m，且存在一个比 i 更小的数 j，使得 j 在 i 出栈之前必须先出栈。

综上所述，只有当 m < n 且存在两个数 i 和 j 满足上述条件时，对应的数字序列才无法按照给定顺序出栈。反之，所有的数字序列都可以按照任意顺序出栈。