两点三次hermite插值公式证明

假设我们有两个点 $(a, f(a)), (b, f(b))$ 和它们的导数 $f’(a), f’(b)$：

我们想要一个二次多项式 $p(x)$，满足：

$$\begin{aligned}p(a)&=f(a)\\p(b)&=f(b)\\p'(a)&=f'(a)\\p'(b)&=f'(b)\end{aligned}$$

$p(x)$ 的一般形式为 $p(x)=Ax^2+Bx+C$。

推导公式：

根据以上条件，我们可以构造如下方程组：

$$\begin{cases}Aa^2+Ba+C=f(a)\\Ab^2+Bb+C=f(b)\\2Aa+B=f'(a)\\2Ab+B=f'(b)\end{cases}$$

解这个方程组，可以得到：

$$\begin{aligned}A&=\frac{f'(a)+f'(b)-2\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{(b-a)^2}\\B&=\frac{f'(b)-f'(a)+2\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{b-a}\\C&=f(a)\end{aligned}$$

这就是两点二次 Hermite 插值的公式。类似地，我们可以得到两点三次 Hermite 插值的公式，它的形式为：

$$H(x)=f(a)\left(1-2\frac{x-a}{b-a}\right)^2+f(b)\left(2\frac{x-a}{b-a}-1\right)^2+\frac{(x-a)^2(x-b)}{(a-b)^2}f'(a)+\frac{(x-a)(x-b)^2}{(a-b)^2}f'(b)$$

通过对 $H(x)$ 求导，我们可以证明它满足条件：

$$\begin{aligned}H(a)&=f(a)\\H(b)&=f(b)\\H'(a)&=f'(a)\\H'(b)&=f'(b)\end{aligned}$$