实现三次hermite插值法绘制曲线

三次Hermite插值法是一种利用给定曲线上的点和导数信息来拟合曲线的方法。具体步骤如下：

1. 给定曲线上的两个点 $(x_0, y_0)$ 和 $(x_1, y_1)$，以及这两个点的导数 $y'_0$ 和 $y'_1$。

2. 用以下公式计算一组基函数：

$$h_1(t) = 2t^3 - 3t^2 + 1$$
$$h_2(t) = -2t^3 + 3t^2$$
$$h_3(t) = t^3 - 2t^2 + t$$
$$h_4(t) = t^3 - t^2$$

其中 $t = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}$。

3. 用以下公式计算插值函数：

$$y(x) = h_1(t)y_0 + h_2(t)y_1 + h_3(t)y'_0 + h_4(t)y'_1$$

其中 $t$ 同上。

4. 根据需要，可以使用上述步骤继续在曲线上添加更多的点和导数信息。

下面是一个使用Python实现三次Hermite插值法绘制曲线的例子：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 给定曲线上的两个点和导数信息
x = np.array([0, 1])
y = np.array([0, 1])
dy = np.array([1, 2])

# 计算基函数
t = (x - x[0]) / (x[1] - x[0])
h1 = 2*t**3 - 3*t**2 + 1
h2 = -2*t**3 + 3*t**2
h3 = t**3 - 2*t**2 + t
h4 = t**3 - t**2

# 计算插值函数
x_new = np.linspace(x[0], x[1], 100)
t_new = (x_new - x[0]) / (x[1] - x[0])
y_new = h1*y[0] + h2*y[1] + h3*dy[0] + h4*dy[1]

# 绘制曲线
plt.plot(x_new, y_new)
plt.scatter(x, y)
plt.show()

这段代码将绘制一条从点 $(0, 0)$ 到点 $(1, 1)$ 的曲线，其中点 $(0, 0)$ 的导数为 $1$，点 $(1, 1)$ 的导数为 $2$。