已知起止点坐标及导数，使用三次Hermite插值公式插值

假设我们已知起止点 $(x_0, y_0)$ 和 $(x_1, y_1)$，以及这两个点处的导数 $y_0'$ 和 $y_1'$。现在我们要插值求解在 $x$ 处的函数值 $y$。我们可以先计算出 $x$ 与起点的距离 $t$ 与总长度 $h$ 的比例：

$$
t = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}, \quad h = x_1 - x_0
$$

然后，我们可以使用三次Hermite插值公式求解 $y$：

$$
\begin{aligned}
y &= (2t^3 - 3t^2 + 1)y_0 + (-2t^3 + 3t^2)y_1 + (t^3 - 2t^2 + t)h y_0' + (t^3 - t^2)h y_1' \\
&= [2t^3 - 3t^2 + 1]y_0 + [-2t^3 + 3t^2]y_1 + [(t^3 - 2t^2 + t)h] y_0' + [(t^3 - t^2)h] y_1'
\end{aligned}
$$

这样，我们就可以通过已知的起止点坐标和导数，求解在任意 $x$ 处的函数值 $y$ 了。