已知起止点坐标及导数，使用三次Hermite插值公式插值

假设我们已知起止点 $(x_0, y_0)$ 和 $(x_1, y_1)$，以及这两个点处的导数 $y_0'$ 和 $y_1'$。现在我们要插值求解在 $x$ 处的函数值 $y$。我们可以先计算出 $x$ 与起点的距离 $t$ 与总长度 $h$ 的比例：

$$
t = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}, \quad h = x_1 - x_0
$$

然后，我们可以使用三次Hermite插值公式求解 $y$：

$$
\begin{aligned}
y &= (2t^3 - 3t^2 + 1)y_0 + (-2t^3 + 3t^2)y_1 + (t^3 - 2t^2 + t)h y_0' + (t^3 - t^2)h y_1' \\
&= [2t^3 - 3t^2 + 1]y_0 + [-2t^3 + 3t^2]y_1 + [(t^3 - 2t^2 + t)h] y_0' + [(t^3 - t^2)h] y_1'
\end{aligned}
$$

这样，我们就可以通过已知的起止点坐标和导数，求解在任意 $x$ 处的函数值 $y$ 了。

相关问题

两点三次hermite插值公式证明

假设我们有两个点 $(a, f(a)), (b, f(b))$ 和它们的导数 $f’(a), f’(b)$：

我们想要一个二次多项式 $p(x)$，满足：

$$\begin{aligned}p(a)&=f(a)\\p(b)&=f(b)\\p'(a)&=f'(a)\\p'(b)&=f'(b)\end{aligned}$$

$p(x)$ 的一般形式为 $p(x)=Ax^2+Bx+C$。

推导公式：

根据以上条件，我们可以构造如下方程组：

$$\begin{cases}Aa^2+Ba+C=f(a)\\Ab^2+Bb+C=f(b)\\2Aa+B=f'(a)\\2Ab+B=f'(b)\end{cases}$$

解这个方程组，可以得到：

$$\begin{aligned}A&=\frac{f'(a)+f'(b)-2\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{(b-a)^2}\\B&=\frac{f'(b)-f'(a)+2\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{b-a}\\C&=f(a)\end{aligned}$$

这就是两点二次 Hermite 插值的公式。类似地，我们可以得到两点三次 Hermite 插值的公式，它的形式为：

$$H(x)=f(a)\left(1-2\frac{x-a}{b-a}\right)^2+f(b)\left(2\frac{x-a}{b-a}-1\right)^2+\frac{(x-a)^2(x-b)}{(a-b)^2}f'(a)+\frac{(x-a)(x-b)^2}{(a-b)^2}f'(b)$$

通过对 $H(x)$ 求导，我们可以证明它满足条件：

$$\begin{aligned}H(a)&=f(a)\\H(b)&=f(b)\\H'(a)&=f'(a)\\H'(b)&=f'(b)\end{aligned}$$

分段三次hermite插值

Hermite插值是一种利用给定函数在某一点的函数值和导数值，通过插值多项式来近似原函数的方法。分段三次Hermite插值是指将原函数在一定区间内分别进行三次Hermite插值。

具体地，假设给定函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的函数值和导数值，即 $f(a),f(b),f'(a),f'(b)$，则我们可以将该区间分成 $n$ 个子区间，每个子区间内进行三次Hermite插值。这样就可以得到一个分段三次Hermite插值函数 $S(x)$，它在每个子区间内都是三次多项式，且在整个区间 $[a,b]$ 上是连续且可导的。

具体的计算过程可以采用牛顿插值的方法，即对每个子区间内的函数进行构造一个三次多项式，然后将这些多项式拼接起来得到整个区间上的插值函数。具体的细节可以参考相关的数值分析教材。