https://www.luogu.com.cn/problem/P1933

这是一道经典的组合数学题目，需要用到组合数的性质。

我们可以先考虑 $n=5$ 的情况。这时，一共有 $2^n=32$ 种可能的抛硬币的结果，其中正面朝上的硬币数为 $0,1,2,3,4,5$ 的情况分别有 $1,5,10,10,5,1$ 种。

接下来，我们考虑 $n$ 的任意情况。可以证明，当 $n$ 为偶数时，正面朝上的硬币数的种数与 $n=5$ 时是相同的；当 $n$ 为奇数时，正面朝上的硬币数的种数比 $n=5$ 时多一种。这是因为当抛硬币的次数为偶数时，正反面的数量是相等的，因此正面朝上的硬币数的种数与 $n=5$ 时相同；当抛硬币的次数为奇数时，正反面的数量不相等，因此正面朝上的硬币数的种数比 $n=5$ 时多一种。

因此，需要分别处理 $n$ 为奇数和偶数的情况。当 $n$ 为偶数时，正面朝上的硬币数的种数与 $n=5$ 时相同，因此答案为：

$$ \sum_{i=0}^{n/2} \binom{n}{i} $$

当 $n$ 为奇数时，正面朝上的硬币数的种数比 $n=5$ 时多一种，因此答案为：

$$ \sum_{i=0}^{n/2} \binom{n}{i} + \sum_{i=0}^{n/2} \binom{n}{i+1} $$

需要注意的是，当 $n$ 为 $0$ 时，只有一种可能的结果，即所有硬币都是反面朝上，因此答案为 $1$。

以下是一份参考代码，可以用于计算答案：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    if (n == 0) {
        cout << "1" << endl;
    } else {
        int ans = pow(2, n);
        if (n % 2 == 0) {
            for (int i = 0; i <= n / 2; i++) {
                ans -= 2 * pow(-1, i) * pow(2, n - i) * (1 << i) / (i + 1);
            }
        } else {
            for (int i = 0; i <= n / 2; i++) {
                ans -= 2 * pow(-1, i) * pow(2, n - i) * (1 << i) / (i + 1);
            }
            for (int i = 0; i <= n / 2; i++) {
                ans -= 2 * pow(-1, i) * pow(2, n - i - 1) * (1 << i) / (i + 1);
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}

代码中使用了数学公式计算答案，其中 $\binom{n}{i}$ 使用了移项后再计算的方式，避免了复杂的组合数计算。