三维图形绕轴线旋转的例题及答案

假设有一个三维图形，需要绕坐标轴旋转。下面提供以绕 x 轴旋转为例的计算方法：

1. 将三维图形的每个点 (x, y, z) 转化为齐次坐标 (x', y', z', 1)，其中 x', y', z' 是点 (x, y, z) 绕 x 轴旋转后的坐标。

2. 构造旋转矩阵 R，即绕 x 轴旋转的矩阵。该矩阵为：

1   0      0      0
0   cosθ  -sinθ  0
0   sinθ   cosθ  0
0   0      0      1

其中，θ 为旋转角度。

3. 将旋转矩阵 R 和每个点的齐次坐标相乘，得到旋转后的点的齐次坐标 (x'', y'', z'', w'')。其中，w'' 不为 1 时，需要将 (x'', y'', z'', w'') 转化为 (x''/w'', y''/w'', z''/w'')。

4. 将旋转后的点坐标转化为三维坐标系，即 (x'', y'', z'')。

下面是一个绕 x 轴旋转的例题：

已知三维图形中点 A(-1, 2, 3)、B(2, -3, 4)、C(0, 1, 2)，绕 x 轴旋转 30°，求旋转后点 A、B、C 的坐标。

解题步骤如下：

1. 将点 A、B、C 转化为齐次坐标：

A' = (-1, 2*cos30° - 3*sin30°, 2*sin30° + 3*cos30°, 1)
   = (-1, 0.4641, 3.2321, 1)
B' = (2, -3*cos30° - 4*sin30°, -3*sin30° + 4*cos30°, 1)
   = (2, -4.1962, 1.1962, 1)
C' = (0, 1*cos30° - 2*sin30°, 1*sin30° + 2*cos30°, 1)
   = (0, -0.7321, 2.7321, 1)

2. 构造绕 x 轴旋转的矩阵 R：

1   0      0      0
0   cos30° -sin30° 0
0   sin30° cos30°  0
0   0      0      1

3. 将旋转矩阵 R 和每个点的齐次坐标相乘，得到旋转后的点的齐次坐标：

A'' = A' * R
    = (-1, 0.4641, 3.2321, 1) * R
    = (-1, -1.5981, 2.7942, 1)
B'' = B' * R
    = (2, -4.1962, 1.1962, 1) * R
    = (2, -2.1602, -3.3414, 1)
C'' = C' * R
    = (0, -0.7321, 2.7321, 1) * R
    = (0, -2.5981, 1.9641, 1)

4. 将旋转后的点坐标转化为三维坐标：

A''' = (-1, -1.5981, 2.7942)
B''' = (2, -2.1602, -3.3414)
C''' = (0, -2.5981, 1.9641)

因此，点 A、B、C 绕 x 轴旋转 30° 后的坐标分别为 A'''(-1, -1.5981, 2.7942)、B'''(2, -2.1602, -3.3414)、C'''(0, -2.5981, 1.9641)。