采用动态规划法，求序列S1=“AGGTAB”和S2=“GXTXAYB”的最长公共子序列。要求列出状态转移函数以及动态规划数组dp。分析具体每一步

状态转移函数：

设dp[i][j]为S1的前i个字符与S2的前j个字符的最长公共子序列长度。则当S1[i]==S2[j]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

动态规划数组dp:

G X T X A Y B
A 0 0 0 0 1 1 1
G 1 0 0 1 1 1 1
G 1 0 0 1 1 1 1
T 1 1 1 1 1 1 1
A 1 1 1 1 2 2 2
B 1 1 1 1 2 2 3

分析具体每一步：

1. 当i=0或j=0时，dp[i][j]=0；
2. 当S1[i]==S2[j]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，此时S1[i]和S2[j]都在最长公共子序列中，将它们加入最长公共子序列中；
3. 当S1[i]!=S2[j]时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，此时S1[i]和S2[j]中至少有一个不在最长公共子序列中，因此需要比较dp[i-1][j]和dp[i][j-1]来决定最长公共子序列的长度；
4. 最终dp[n][m]即为S1和S2的最长公共子序列长度。反向追踪dp数组可以得到所有的最长公共子序列。

相关问题

动态规划法求最长公共子序列，要求自己输入元素

好的，下面我将介绍使用动态规划法求解最长公共子序列问题。

首先，让我们了解一下什么是最长公共子序列。最长公共子序列（LCS）是指两个或多个字符串中，所有顺序相同且长度最长的子序列。

接下来，我们按照以下步骤使用动态规划求解LCS问题：

1. 定义状态：设字符串A和B的长度分别为m和n，则定义一个m+1行、n+1列的二维数组dp，其中dp[i][j]表示A的前i个字符和B的前j个字符的LCS长度。

2. 初始化：将dp数组第一行和第一列的元素全部置为0，因为任意一个字符串与空字符串的LCS长度均为0。

3. 状态转移方程：当A[i]等于B[j]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

4. 最优解：dp[m][n]即为A和B的LCS长度。

5. 逆推求解LCS：从dp[m][n]开始，根据状态转移方程逆推得到LCS。

下面是Python代码实现：

def lcs(A, B):
    m, n = len(A), len(B)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if A[i-1] == B[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    length = dp[m][n]
    result = []
    i, j = m, n
    while i > 0 and j > 0:
        if A[i-1] == B[j-1]:
            result.append(A[i-1])
            i -= 1
            j -= 1
        elif dp[i-1][j] > dp[i][j-1]:
            i -= 1
        else:
            j -= 1
    result.reverse()
    return length, ''.join(result)

其中，A和B分别为输入的字符串，返回值为LCS长度和LCS本身。

动态规划法求最长公共子序列c++代码，要求自己输入元素

以下是使用动态规划求解最长公共子序列的C++代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int dp[MAXN][MAXN];

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    int a[MAXN], b[MAXN];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> b[i];
    }

    memset(dp, 0, sizeof(dp));

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (a[i] == b[j]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }

    cout << dp[n][m] << endl;

    return 0;
}

这里使用了一个二维数组`dp`来保存最长公共子序列的长度，其中`dp[i][j]`表示第一个序列前i个元素与第二个序列前j个元素的最长公共子序列长度。然后通过两个for循环遍历两个序列的每个元素，如果相等则更新`dp[i][j]`，否则取`dp[i-1][j]`与`dp[i][j-1]`的较大值。最后输出`dp[n][m]`即可。