给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?
时间: 2023-10-03 19:04:16 浏览: 146
这是一个经典的动态规划问题,可以使用动态规划算法来解决。
定义一个二维数组dp[i][j],其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择若干个放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。则有如下状态转移方程:
当j < Wi时,dp[i][j] = dp[i-1][j],即背包容量不足以放下第i个物品,只能选择不装入背包中。
当j >= Wi时,dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi] + Vi),即可以选择将第i个物品装入背包中,也可以选择不装入,取两者之间的最大值。
最终,dp[n][C]即为所求。
具体的代码实现如下:
```python
def knapsack(n, C, weights, values):
dp = [[0 for j in range(C+1)] for i in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, C+1):
if j < weights[i-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1])
return dp[n][C]
```
其中,n为物品的数量,C为背包的容量,weights和values分别为物品的重量和价值。
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给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?用c语言写出来
这是一个经典的背包问题,可以使用动态规划算法来解决。具体步骤如下:
1. 定义状态:设f(i, j)表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能得到的最大价值。
2. 状态转移方程:对于第i个物品,可以选择放入背包中或不放入背包中。如果选择放入背包中,则背包容量减少Wi,总价值增加Vi;如果选择不放入背包中,则总价值不变。因此,状态转移方程为:
f(i, j) = max{ f(i-1, j), f(i-1, j-Wi) + Vi }
3. 边界条件:当i=0或j=0时,f(i, j)均为0。
4. 最终结果:f(n, C)即为所求。
用C语言实现如下:
```c
#include <stdio.h>
#define MAX_N 100
#define MAX_C 1000
int N, C;
int W[MAX_N+1], V[MAX_N+1];
int f[MAX_N+1][MAX_C+1];
int max(int a, int b) { return a > b ? a : b; }
int main()
{
// 读入数据
scanf("%d%d", &N, &C);
for (int i = 1; i <= N; i++)
scanf("%d%d", &W[i], &V[i]);
// 动态规划求解
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
for (int j = 1; j <= C; j++)
{
if (j >= W[i])
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-W[i]] + V[i]);
else
f[i][j] = f[i-1][j];
}
}
// 输出结果
printf("%d\n", f[N][C]);
return 0;
}
```
给定n种物品和一个背包,物品i的重量是wi,其价值为vi,背包的容量为c。如何选择装入背包的物品,可以使得装入背包中物品的总价值最大?
### 回答1:
这是一个经典的背包问题,可以使用动态规划算法来解决。具体来说,可以定义一个二维数组dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。然后,可以根据以下状态转移方程来更新dp数组:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi]+vi)
其中,dp[i-1][j]表示不放第i个物品时的最大价值,dp[i-1][j-wi]+vi表示放入第i个物品时的最大价值。最终,dp[n][c]即为所求的最大价值。
### 回答2:
背包问题是计算机算法中经典的问题之一,通常被称为0/1背包问题。给定n个物品和一个背包,每个物品都有一个重量和价值,背包有限制容量,要求从这些物品中选取若干个物品,使得它们的总重量不超过背包容量,且总价值最大。
解决这个问题的一种有效方法是动态规划。根据动态规划的思想,将问题分解成多个子问题,求解子问题的最优解,最终合并得到原问题的最优解。
具体来说,可以使用一个二维数组dp[i][j]表示前i个物品中,当背包容量为j时的最大价值。其中,i从1到n,j从0到c。初始状态为dp[0][j]=0,即物品数量为0时价值为0。对于每个物品i,可以有两种情况:选或不选。如果不选,则前i个物品中背包容量为j时的最大价值就等于前i-1个物品中背包容量为j时的最大价值,即dp[i][j]=dp[i-1][j]。如果选,则前i个物品中背包容量为j时的最大价值就等于前i-1个物品中背包容量为j-wi时的最大价值加上物品i的价值,即dp[i][j]=dp[i-1][j-wi]+vi。因此,在两种情况中选择最大价值作为dp[i][j]的值。最终的最优解即为dp[n][c]。
由于每个状态只依赖于前一个状态,因此可以使用滚动数组的技术对空间进行优化,将二维数组变为一维数组。最终的时间复杂度为O(nc),空间复杂度为O(c)。
除了0/1背包问题,还有一些变种问题,如多重背包问题和完全背包问题。多重背包问题中,每个物品有多个,可以选择不同的数量;完全背包问题中,每个物品可以选择无限个。这些问题也可以使用动态规划求解,具体方法与0/1背包问题类似,只是状态和转移方程略有不同。
### 回答3:
背包问题是一种经典的优化问题,也被认为是“投资一定资金以达到收益最大化”的问题。通常可以分为两种情况,一种是01背包问题,一种是完全背包问题。
01背包问题指的是每个物品只能选择一次,即要么选,要么不选。这类问题可以使用动态规划的方法来解决。可以用一个二维数组来记录当前物品放入背包时的最大价值。状态转移方程为:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi]+vi)
其中dp[i][j]表示前i个物品放入大小为j的背包中所能得到的最大价值,wi表示第i个物品的重量,vi表示第i个物品的价值。
完全背包问题指的是每个物品可以无限次选择,即可以选0个、1个、2个……直到无法放下为止。此类问题可以将物品看作一个个单位重量的物品,用贪心算法来解决。即按物品的单位价值从大到小排序,然后依次选取,直到将背包放满为止。
因此,要求解背包问题,需要分析具体情况,选择不同的解决方法。都需要根据实际应用场景来构建算法,以求得最优解。
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