泰勒公式在存在性命题中的应用(具体例题)
时间: 2023-06-23 10:08:08 浏览: 48
泰勒公式是一种将一个函数在某一点附近展开为幂级数的方法,具体地,对于一个$k$阶可导的函数$f(x)$,它在$x=a$处的泰勒公式为:
$$
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_k(x),
$$
其中$R_k(x)$为余项,具体形式为:
$$
R_k(x)=\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1},
$$
其中$\xi$为$x$与$a$之间的某个点。
在存在性问题中,我们通常需要证明某个函数在某一点处存在极限、导数或者高阶导数。泰勒公式可以帮助我们证明这些存在性问题。以下是一个具体的例题:
例题:证明$f(x)=\sqrt{x}$在$x=1$处存在导数。
解:首先,我们可以将$f(x)$在$x=1$处展开为泰勒级数。由于$f(x)$在$x=1$处的导数不存在,我们只能展开到$f(x)$的一阶导数,即$k=1$。因此,我们有:
$$
f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+R_1(x),
$$
其中$R_1(x)$为余项,具体形式为:
$$
R_1(x)=\frac{f''(\xi)}{2!}(x-1)^2,
$$
其中$\xi$为$x$与1之间的某个点。
接下来,我们需要证明$R_1(x)$在$x\to1$时趋近于0。由于$f(x)=\sqrt{x}$在$x=1$处不存在导数,因此我们需要利用极限的定义来证明$R_1(x)\to0$。具体地,我们需要证明:
$$
\lim_{x\to1}\frac{R_1(x)}{x-1}=0.
$$
由于$R_1(x)$中含有$(x-1)^2$的因子,因此我们可以将分子分母都除以$(x-1)^2$,得到:
$$
\lim_{x\to1}\frac{R_1(x)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{f''(\xi)}{2}(x-1)=\frac{1}{2}\lim_{x\to1}f''(\xi)(x-1).
$$
由于$f(x)=\sqrt{x}$在$x=1$处二阶导数为$f''(1)=-\frac{1}{4}$,因此我们有:
$$
\lim_{x\to1}\frac{R_1(x)}{x-1}=-\frac{1}{8}.
$$
由此可见,$R_1(x)\to0$,因此$f(x)=\sqrt{x}$在$x=1$处存在导数,且导数为$f'(1)=\frac{1}{2}$。