写一个代码时间复杂度是O(1)解决约瑟夫环问题
时间: 2024-03-12 14:49:25 浏览: 14
要实现时间复杂度为O(1)的约瑟夫环问题解决方案,可以使用公式法。假设n个人围成一圈,第k个人出圈,那么该公式为:
f(n,k) = (f(n-1,k) + k) % n
其中f(n,k)表示n个人围成一圈,第k个人出圈后的最终胜利者的编号。
可以根据上述公式编写O(1)时间复杂度的代码,如下所示:
```cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int josephus(int n, int k) {
int winner = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
winner = (winner + k) % i;
}
return winner + 1;
}
int main() {
int n, k;
cout << "请输入人数n和每次报数的数k:\n";
cin >> n >> k;
int result = josephus(n, k);
cout << "最后一个出圈的人的编号是:" << result << endl;
return 0;
}
```
该代码的时间复杂度为O(1),空间复杂度为O(1)。
相关问题
当问题规模较大时,写一个代码时间复杂度是O(1)解决约瑟夫环问题
当问题规模较大时,使用公式法解决约瑟夫环问题可能会出现整数溢出的问题,因此需要采用另一种算法来解决。
这种算法称为循环链表法,它的基本思想是将n个人的编号依次存入一个循环链表中,然后每次从链表中删除第k个人,直到链表中只剩下一个人为止。
为了实现时间复杂度为O(1),我们可以不使用链表,而是使用数组来模拟循环链表。具体实现步骤如下:
1.定义一个数组p,表示n个人的编号。
2.定义一个变量s表示当前链表中剩下的人数,初始值为n。
3.定义一个变量k表示每次报数的数。
4.定义一个变量i表示当前报数的位置,初始值为0。
5.每次从数组p中删除第k个人,即p[i],然后将i的值加上k,即i = (i + k) % s。
6.重复步骤5,直到s等于1为止,此时p[i]即为最后一个出圈的人的编号。
下面是使用C++实现的循环链表法代码:
```cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int josephus(int n, int k) {
int p[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
p[i] = i + 1;
}
int s = n;
int i = 0;
while (s > 1) {
i = (i + k - 1) % s;
for (int j = i; j < s - 1; j++) {
p[j] = p[j + 1];
}
s--;
}
return p[0];
}
int main() {
int n, k;
cout << "请输入人数n和每次报数的数k:\n";
cin >> n >> k;
int result = josephus(n, k);
cout << "最后一个出圈的人的编号是:" << result << endl;
return 0;
}
```
该代码的时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(n)。当n较大时,可能会出现数组越界的问题,需要特别注意。
当人数超过2的15次方时,写一个代码时间复杂度是O(1)解决约瑟夫环问题
当人数超过2的15次方时,使用循环链表法可能会出现内存不足的问题,因此需要采用另一种算法来解决,该算法称为数学法。
数学法的基本思想是通过数学公式计算出最后一个出圈的人的编号。假设n个人围成一圈,每次报数的数为k,则最后一个出圈的人的编号为:
f(n,k) = (f(n-1,k) + k) % n
其中f(n,k)表示n个人围成一圈,每次报数的数为k时最后一个出圈的人的编号。
当n的值非常大时,上述公式可能会导致整数溢出,因此需要使用递推公式来计算。假设当前已经计算出f(n-1,k)的值,如何计算出f(n,k)的值呢?可以使用如下递推公式:
f(n,k) = (f(n-1,k) + k) % n
f(1,k) = 0
下面是使用C++实现的数学法代码:
```cpp
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int josephus(int n, int k) {
if (n == 1) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return n - 1;
}
if (k > n) {
return (josephus(n - 1, k) + k) % n;
}
int cnt = n / k;
int res = josephus(n - cnt, k);
res -= n % k;
if (res < 0) {
res += n;
}
else {
res += res / (k - 1);
}
return res;
}
int main() {
int n, k;
cout << "请输入人数n和每次报数的数k:\n";
cin >> n >> k;
int result = josephus(n, k);
cout << "最后一个出圈的人的编号是:" << result << endl;
return 0;
}
```
该代码的时间复杂度为O(1),空间复杂度为O(1)。当人数超过2的15次方时,该算法也能够快速求解约瑟夫环问题,且不会出现内存不足的问题。