Metropolis采样算法

Metropolis采样算法是一种马尔科夫链蒙特卡罗（MCMC）方法，用于从一个高维概率分布中生成样本。这种方法由Nicholas Metropolis在1953年提出。

Metropolis采样算法将采样问题转化为在一个高维空间中的随机游走问题。该算法通过接受或拒绝每个随机步骤来生成样本，以保证得到的样本符合所需的概率分布。

算法步骤如下：

1. 初始化状态 $x_0$

2. 对于第 $i$ 步，从当前状态 $x_i$ 开始，产生一个候选状态 $y$，并计算接受概率 $A$：

$$A = \min\left(1, \frac{p(y)}{p(x_i)}\right)$$

其中，$p(x)$ 是需要采样的概率分布函数。

3. 以概率 $A$ 接受候选状态 $y$，否则保持当前状态 $x_i$ 不变。

4. 重复步骤2-3，直到达到所需的采样数量。

Metropolis采样算法的优点是可以处理非标准的概率分布，并且不需要计算归一化常数。但是，它的缺点是需要手动调整步长和随机游走的策略，以便更好地探索概率分布的空间。