怎么使用GTSAM库计算地平面约束的雅克比矩阵，请给出公式和代码

在GTSAM中，使用因子图（Factor Graph）来表示约束条件，并使用非线性优化算法来求解最优解。地平面约束可以表示为一个因子，它的误差函数为非线性函数，因此需要计算雅克比矩阵来进行优化。

首先，我们需要定义误差函数，假设我们有一个位姿变量x和一个地平面特征变量p，地平面特征变量表示地面的法向量和一个点到地面的距离。误差函数可以表示为：

$$ f(x,p) = \frac{(n^T(x-p) + d)^2}{\sigma^2} $$

其中，n是地面法向量，d是点到地面的距离，$\sigma$是噪声标准差。这个误差函数表示了地面特征点和位姿之间的误差，我们需要最小化这个误差函数来优化位姿和地平面特征。

然后，我们需要计算误差函数的雅克比矩阵。雅克比矩阵可以使用自动微分技术来计算，GTSAM库已经集成了这个功能，我们只需要定义误差函数，并将其转化为因子即可。地平面约束的雅克比矩阵可以表示为：

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2n(n^T(x-p)+d)}{\sigma^2} $$

$$ \frac{\partial f}{\partial p} = \frac{2(n^T(x-p)+d)n}{\sigma^2} $$

最后，我们需要将误差函数和雅克比矩阵转化为因子，使用GTSAM中的因子图进行优化。下面是使用GTSAM库计算地平面约束的Python代码：

import gtsam

# 定义误差函数
class GroundFactor(gtsam.NonlinearFactor):
    def __init__(self, pose_key, ground_key, ground_normal, ground_distance, noise):
        gtsam.NonlinearFactor.__init__(self, [pose_key, ground_key])
        self.ground_normal = ground_normal
        self.ground_distance = ground_distance
        self.noise = gtsam.noiseModel.Isotropic.Sigma(1, noise)

    def error(self, variables):
        pose = variables.atPose2(self.keys()[0])
        ground = variables.atPoint3(self.keys()[1])
        return (self.ground_normal.transpose().dot(pose - ground) + self.ground_distance) ** 2 / self.noise

    def jacobian(self, variables):
        pose = variables.atPose2(self.keys()[0])
        ground = variables.atPoint3(self.keys()[1])
        J_pose = self.ground_normal * 2 * (self.ground_normal.transpose().dot(pose - ground) + self.ground_distance) / self.noise
        J_ground = self.ground_normal * 2 * (self.ground_distance + self.ground_normal.transpose().dot(pose - ground)) / self.noise
        return gtsam.JacobianFactor(self.keys(), gtsam.Matrix.from_array(np.hstack([J_pose, J_ground])), self.noise)

# 创建因子图
graph = gtsam.NonlinearFactorGraph()

# 添加地平面约束因子
pose_key = gtsam.symbol(ord('x'), 1)
ground_key = gtsam.symbol(ord('p'), 1)
ground_normal = np.array([0, 0, 1])
ground_distance = 1
noise = 0.1
ground_factor = GroundFactor(pose_key, ground_key, ground_normal, ground_distance, noise)
graph.add(ground_factor)

# 定义变量初始值
initial_values = gtsam.Values()
initial_values.insert(pose_key, gtsam.Pose2(0, 0, 0))
initial_values.insert(ground_key, gtsam.Point3(0, 0, ground_distance))

# 运行优化
optimizer = gtsam.LevenbergMarquardtOptimizer(graph, initial_values)
result_values = optimizer.optimize()

# 获取优化结果
pose = result_values.atPose2(pose_key)
ground = result_values.atPoint3(ground_key)

这段代码中，我们定义了一个GroundFactor类，它继承自gtsam.NonlinearFactor，并重写了error和jacobian方法来定义误差函数和雅克比矩阵。然后，我们创建了一个因子图，并添加了地平面约束因子。接着，我们定义了初始变量值，并使用LevenbergMarquardtOptimizer算法进行优化。最后，我们获取优化结果，包括位姿和地平面特征。