给定函数求函数在区间上的最优平方逼近三次多项式
时间: 2023-06-12 15:07:09 浏览: 102
要求一个函数在给定区间上的最优平方逼近三次多项式,可以使用最小二乘法来解决。最小二乘法是一种数学优化技术,用于寻找最小化误差平方和的函数或曲线拟合。
具体来说,假设给定函数为 $f(x)$,要在区间 $[a,b]$ 上找到一个三次多项式 $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3$,使得 $p(x)$ 在该区间上最优平方逼近 $f(x)$。将 $p(x)$ 带入误差平方和的公式:
$$E(a_0,a_1,a_2,a_3) = \int_a^b \left[f(x) - p(x)\right]^2 dx$$
对 $E$ 求偏导数,令其等于 0,可以得到 $a_0,a_1,a_2,a_3$ 的最优解。具体地,解出以下线性方程组:
$$\begin{bmatrix}
N & \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3 \\
\sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 \\
\sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 & \sum x_i^5 \\
\sum x_i^3 & \sum x_i^4 & \sum x_i^5 & \sum x_i^6 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sum f_i \\
\sum x_if_i \\
\sum x_i^2f_i \\
\sum x_i^3f_i \\
\end{bmatrix}$$
其中 $N$ 是区间 $[a,b]$ 上的数据点数,$x_i$ 是第 $i$ 个数据点的横坐标,$f_i$ 是第 $i$ 个数据点的纵坐标。解出 $a_0,a_1,a_2,a_3$ 后,即可得到最优平方逼近三次多项式 $p(x)$。