给定的多段图，用动态规划法求起点到终点的最短路径

多段图是指一个有向无环图，其顶点被分为若干个不相交的集合（也称为“段”），并且从每个集合中的顶点只能到达下一段集合中的顶点。求解多段图的最短路径问题可以使用动态规划算法。

具体来说，我们可以定义状态f(i,j)表示从起点到达第i段中第j个顶点的最短路径长度。因为多段图中的每个顶点只能到达下一段集合中的顶点，所以状态转移方程可以定义为：

f(i,j) = min{f(i-1,k) + w(k,j)}，其中k是第i-1段中的顶点，w(k,j)表示从k到j的边的权重。

该状态转移方程的含义是：从起点到第i段中第j个顶点的最短路径长度可以在第i-1段中的所有顶点的最短路径长度的基础上加上到达第i段中第j个顶点的边的权重，即f(i,j)=min{f(i-1,k)+w(k,j)}。

最后，我们只需要从起点到终点依次计算每个状态f(i,j)，最终得到起点到终点的最短路径长度。

需要注意的是，为了能够使用动态规划算法求解多段图的最短路径问题，需要满足以下两个条件：

1. 多段图必须是有向无环图；
2. 多段图中的每个顶点必须被分为若干个不相交的集合。

相关问题

c语言用动态规划法求多段图最短路径，简单易懂

动态规划是一种解决最优化问题的算法思想，适用于求解具有最优子结构性质的问题。多段图最短路径就是其中一种典型问题。

多段图最短路径问题可以描述为：给定一个有向无环图，每个节点有一个权值，找出从起点到终点的一条路径，路径要求经过每个节点恰好一次，且路径权值最小。

下面是使用动态规划求解多段图最短路径的基本步骤：

1. 定义状态：设f(i,j)表示从起点到第i层，经过点j的最短路径长度。

2. 状态转移方程：根据多段图的特点，可以将问题划分为若干个阶段，从而可以得到状态转移方程：
f(i,j)=min{f(i-1,k)+w(k,j)},其中k为第i-1层中的点，w(k,j)为第i-1层中点k到第i层中点j的路径长度。

3. 边界条件：f(1,1)=0，f(i,j)=INF（正无穷），其中INF为一个足够大的数。

4. 最终结果：f(n,m)，其中n为终点所在层数，m为终点的编号。

下面是使用动态规划求解多段图最短路径的C语言代码实现：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>

#define MAX_N 100 // 最大节点数
#define INF INT_MAX // 无穷大

int g[MAX_N][MAX_N]; // 图的邻接矩阵表示
int f[MAX_N][MAX_N]; // 状态数组
int n; // 节点数

int main()
{
    int m; // 终点所在层数
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            g[i][j] = INF; // 初始化邻接矩阵
    for (int i = 1; i <= m; i++) // 输入终点所在层数的节点权值
    {
        int j, w;
        scanf("%d%d", &j, &w);
        g[j][i] = g[i][j] = w;
    }
    for (int i = m + 1; i <= n; i++) // 输入其他节点的权值
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%d", &g[j][i]);
    // 初始化状态数组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            f[i][j] = INF;
    f[1][1] = 0; // 边界条件
    // 状态转移
    for (int i = 2; i <= m; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            for (int k = 1; k <= n; k++)
            {
                if (g[k][j] != INF && f[i - 1][k] != INF)
                {
                    if (f[i][j] == INF || f[i][j] > f[i - 1][k] + g[k][j])
                        f[i][j] = f[i - 1][k] + g[k][j];
                }
            }
        }
    // 输出结果
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}

以上就是使用动态规划求解多段图最短路径的C语言代码实现。

对于给定一个多段图,用动态规划法求

多段图最短路径问题可以使用动态规划算法来解决。具体实现步骤如下：

1.将多段图转化为有向无环图(DAG)。

2.定义一个二维数组dp[i][j]表示从起点到第i层中第j个节点的最短路径长度。

3.初始化dp数组，将所有dp[i][j]初始化为正无穷大(INF)。

4.从多段图的最后一层开始向前遍历，依次计算每个节点的最短路径长度。

5.对于每个节点，计算它到下一层中所有可达节点的路径长度之和，并取其中最小值作为当前节点的最短路径长度。

6.最终得到起点到终点的最短路径长度即为dp[1][1]。

以下是示例代码：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>

#define INF INT_MAX

int main() {
    int n = 6; // 多段图层数
    int m = 10; // 多段图总节点数
    int edges[][3] = {{1, 2, 2}, {1, 3, 1}, {2, 4, 5}, {2, 5, 4}, {3, 4, 1}, {3, 5, 3}, {4, 6, 4}, {5, 6, 3}}; // 多段图边集合
    int dp[n + 1][m + 1]; // dp数组
    int i, j, k;

    // 初始化dp数组
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        for (j = 1; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = INF;
        }
    }

    // 多段图最后一层
    for (j = 1; j <= m; j++) {
        if (j == m) {
            dp[n][j] = 0;
        } else {
            dp[n][j] = INF;
        }
    }

    // 从多段图倒数第二层开始向前遍历
    for (i = n - 1; i >= 1; i--) {
        for (j = 1; j <= m; j++) {
            for (k = 0; k < sizeof(edges) / sizeof(edges[0]); k++) {
                if (edges[k][0] == j && edges[k][1] <= m && edges[k][1] >= j && edges[k][1] / (m / n) == i + 1) {
                    dp[i][j] = dp[i][j] < dp[i + 1][edges[k][1]] + edges[k][2] ? dp[i][j] : dp[i + 1][edges[k][1]] + edges[k][2];
                }
            }
        }
    }

    // 输出起点到终点的最短路径长度
    printf("%d\n", dp[1][1]);

    return 0;
}

在这个示例代码中，我们首先初始化了dp数组，并将多段图的最后一层的节点的最短路径长度设为0。然后从多段图的倒数第二层开始向前遍历，对于每个节点计算它到下一层中所有可达节点的路径长度之和，并取其中最小值作为当前节点的最短路径长度。最终得到起点到终点的最短路径长度即为dp[1][1]。