使用外点罚函数法求解带有等式约束的没有初始点的无固定罚因子的优化问题python实现

在使用外点罚函数法求解带有等式约束的优化问题时，如果没有给定初始点，可以通过随机生成初始点的方式来寻找最优解。此外，如果没有固定的罚因子，可以通过不断增加罚因子的方式来逐步逼近最优解。下面是一个简单的Python实现示例：

from scipy.optimize import minimize
import numpy as np

# 定义目标函数
def objective(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2

# 定义等式约束函数
def eq_constraint(x):
    return x[0] + x[1] - 1

# 定义罚函数
def penalty(x, t):
    return t * eq_constraint(x)**2

# 定义总目标函数（目标函数 + 罚函数）
def total_objective(x, t):
    return objective(x) + penalty(x, t)

# 定义等式约束条件
cons = {'type': 'eq', 'fun': eq_constraint}

# 初始化罚因子和初始点
t = 1
x0 = np.array([2, 2])

# 使用外点罚函数法求解带有等式约束的优化问题
while t < 10000:
    result = minimize(total_objective, x0, args=(t,), method='SLSQP', constraints=cons)
    if np.abs(eq_constraint(result.x)) < 1e-6:
        break
    t *= 10
    x0 = result.x

print(result)

在上面的代码中，我们首先定义了目标函数 `objective`，等式约束函数 `eq_constraint`，以及罚函数 `penalty` 和总目标函数 `total_objective`，这些函数的实现方式与之前的示例相同。接着，我们定义了等式约束条件 `cons`，并初始化罚因子 `t` 和初始点 `x0`。在求解最优化问题时，我们通过循环来逐步逼近最优解，每次循环首先使用 `minimize` 函数求解带有固定罚因子的优化问题，如果等式约束误差小于 $10^{-6}$，则认为已经找到了最优解，退出循环；否则将罚因子乘以 $10$，并将求解结果作为下一次求解的初始点。最后输出最优解。

需要注意的是，由于每次求解都需要重新计算罚函数，因此计算量较大，可能需要较长的求解时间。另外，罚因子的增长速度也需要根据具体问题进行调整。