设 ) 0 3 3 ( A W A R tr 为实数域上迹为零的全体3阶矩阵作成的线性空间, 求 W 的基与维数.知识点有哪些
时间: 2024-02-19 18:00:31 浏览: 110
这是一个线性代数中的问题,涉及到矩阵的基和维数。
基本思路是找到 W 的一个基,然后计算出基的个数,即为 W 的维数。
首先,一个 3 阶矩阵的一般形式可以表示为:
$$
\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & -a-e
\end{pmatrix}
$$
其中,$a, b, c, d, e, f, g, h$ 都是实数。
要使得矩阵的迹为零,即 $a+e-a-e=0$,即 $a=-e$。
所以,矩阵的一般形式可以简化为:
$$
\begin{pmatrix}
-a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & a
\end{pmatrix}
$$
接下来,我们可以构造一个基:
$$
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
可以验证这 6 个矩阵是线性无关的,并且任意一个迹为零的 3 阶矩阵都可以用它们线性表示,因此它们构成了 W 的一个基。
所以,W 的维数为 6,知识点涉及到线性代数中的矩阵的基和维数的计算。