三个点的凸组合可以在三角形里面表示出来吗
时间: 2023-11-06 18:05:48 浏览: 49
可以的。三个点的凸组合可以表示为 $p = \alpha_1 p_1 + \alpha_2 p_2 + \alpha_3 p_3$,其中 $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 1$ 且 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \ge 0$。这个式子可以看做是三个点 $p_1, p_2, p_3$ 的权重和,表示一个新的点 $p$。如果 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 > 0$,那么 $p$ 就一定在三角形 $p_1p_2p_3$ 的内部。如果有一个权重为 $0$,则 $p$ 就在三角形的边界上。如果有两个或三个权重为 $0$,则 $p$ 就在三角形的某个顶点上。因此,三个点的凸组合可以在三角形里面表示出来。
相关问题
凸多边形的三角形剖分
凸多边形的三角形剖分是将凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合。最优三角剖分是指根据定义在三角形上的权函数,确定凸多边形的三角剖分,使得诸三角形的权值和最小。这里的权值和指的是将多边形划分成多个三角形后,所有三角形的边权值之和。
通过将凸多边形划分成不同的两部分和一个三角形,凸多边形的三角形剖分可以类比矩阵链的递推方程。将凸多边形划分成两个不同的子链,这两个子链所构成的矩阵乘法次数可以对应到三角剖分中的权值和。
给定一个n边的凸多边形P,我们需要确定该凸多边形的三角剖分,使得诸三角形的权值和最小。输入数据中给出了各边弦的权值,以无向图的形式表示。三角形的权值等于三条边的权值之和。因此,我们需要根据这些权值来计算最优的三角剖分。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* [凸多边形的最优三角划分最详细求解步骤演示[动态规划]](https://blog.csdn.net/liuweiyuxiang/article/details/78827474)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
- *2* *3* [7-3 凸多边形最优三角剖分 (10 分)(思路+详解+分析题意+动态规划)Come Baby!!!!!!!!!](https://blog.csdn.net/qq_48508278/article/details/120457414)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
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三个绝对值函数相加是凸函数吗
首先,我们需要知道凸函数的定义:如果对于函数 $f$ 的定义域上的任意两个点 $x_1$ 和 $x_2$,以及任意的 $0 \leq \lambda \leq 1$,都有以下不等式成立:
$$
f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)
$$
那么 $f$ 是凸函数。
现在我们来考虑三个绝对值函数相加的函数:
$$
f(x) = |x| + |x-1| + |x+1|
$$
我们可以将其分成三段:
- 当 $x \leq -1$ 时,$f(x) = -3x$
- 当 $-1 \leq x \leq 0$ 时,$f(x) = x+1$
- 当 $x \geq 1$ 时,$f(x) = 3x$
我们可以证明,在每个区间上,$f(x)$ 都是凸函数。因此,对于任意的 $x_1$ 和 $x_2$,以及任意的 $0 \leq \lambda \leq 1$,有:
$$
\begin{aligned}
f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) &= |\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2| + |\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2-1| + |\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2+1| \\
&\leq \lambda |x_1| + (1-\lambda) |x_2| + \lambda |x_1-1| + (1-\lambda) |x_2-1| + \lambda |x_1+1| + (1-\lambda) |x_2+1| \\
&\leq \lambda (|x_1|+|x_1-1|+|x_1+1|) + (1-\lambda) (|x_2|+|x_2-1|+|x_2+1|) \\
&= \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)
\end{aligned}
$$
因此,$f(x)$ 是凸函数。