(1)如果给定通带截止频率和阻带截止频率以及阻带最小衰减,如何用窗函数法设计线性相位低通滤波器?请写出设计步骤。 (2)如果要求用窗函数法设计带通滤波器,且给定通带上、下截止频率为 ，阻带上、下截止频率为试求理想带通滤波器的截止频率 。 （3）解释为什么对同样的技术指标，用等波纹最佳逼近法设计的滤波器阶数低？

(1) 窗函数法设计线性相位低通滤波器的步骤如下：

1. 确定通带截止频率ωc、阻带截止频率ωs和阻带最小衰减量As。

2. 计算出理想低通滤波器的截止频率ωp和阻带截止频率ωs'，其中ωp=ωc/π，ωs' =ωs/π 。

3. 计算出理想低通滤波器的传递函数Hd(jω)，其中Hd(jω)=1，ω<ωp；Hd(jω)=0，ω>ωs'。

4. 选择一种窗函数，如矩形窗、汉宁窗等，并计算出窗函数的长度N。

5. 用窗函数w(n)与理想低通滤波器的传递函数Hd(jω)进行卷积得到数字滤波器的冲激响应h(n)，即h(n)=w(n) * hI(n)，其中hI(n)为理想低通滤波器的冲激响应。

6. 对h(n)进行归一化处理，即h(n)=h(n)/∑h(n)。

7. 将h(n)进行DFT变换得到数字滤波器的频率响应H(e^jω)。

8. 如果需要得到线性相位滤波器，则需要对H(e^jω)进行如下处理：H(e^jω)=H(e^jω)*e^(-jω(N-1)/2)，其中N为数字滤波器的长度。

(2) 在带通滤波器中，理想带通滤波器的截止频率为ωc=(ω1+ω2)/2，其中ω1和ω2分别为通带上、下截止频率。因此，要求得理想带通滤波器的截止频率，只需要求出通带上、下截止频率的平均值即可，即ωc=(2π×10^3+2π×4×10^3)/2=3π×10^3。

(3) 用等波纹最佳逼近法设计的滤波器阶数低的原因是因为等波纹滤波器可以在通带和阻带都具有相等的波纹，从而使得滤波器的阶数更低。相比之下，窗函数法会引入一定的过渡带宽度，这会使得滤波器的阶数更高。

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如果给定通带截止频率和阻带截止频率以及阻带最小衰减,如何用窗函数法设计线性相位低通滤波器?请写出设计步骤。

设计步骤如下：

1. 根据通带截止频率和阻带截止频率，计算出通带边缘频率和阻带边缘频率。

2. 根据通带和阻带的最小衰减，计算出通带和阻带的衰减量。

3. 根据衰减量，选择合适的窗函数。比较常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗等。

4. 根据所选窗函数的长度，计算出滤波器的阶数。

5. 根据阶数和窗函数的长度，计算出窗函数的参数。

6. 利用窗函数和理想低通滤波器的频率响应，计算出实际滤波器的频率响应。

7. 对于实际滤波器的频率响应进行归一化处理，使其最大值为1。

8. 对于实际滤波器的频率响应进行线性相位校正，使其具有线性相位特性。

9. 最后得到的滤波器即为所需的线性相位低通滤波器。

如果给定通带截止频率和阻带截止频率以及阻带最小衰减，如何用窗函数法设计线性相位低通滤波器，写出设计步骤。

设计步骤如下：

1. 确定滤波器的通带截止频率和阻带截止频率以及阻带最小衰减。

2. 计算出滤波器的通带截止频率和阻带截止频率对应的数字频率 $\omega_c$ 和 $\omega_s$。

3. 根据通带截止频率和阻带截止频率的位置关系，选择一种窗函数进行设计。常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗等。

4. 根据所选的窗函数，计算出窗函数的系数 $w(n)$。

5. 计算出理想低通滤波器的幅度特性 $H_d(e^{j\omega})$，即

$$
H_d(e^{j\omega})=\begin{cases}
1, & 0\leq\omega\leq\omega_c\\
0, & \omega_s\leq\omega\leq\pi
\end{cases}
$$

6. 将 $H_d(e^{j\omega})$ 与窗函数 $w(n)$ 相乘，得到所要设计的数字滤波器的频率响应 $H(e^{j\omega})$：

$$
H(e^{j\omega})=H_d(e^{j\omega})w(n)
$$

7. 对 $H(e^{j\omega})$ 进行反变换，得到滤波器的时域响应 $h(n)$。

8. 通过对 $h(n)$ 进行移位和缩放，得到最终的滤波器系数 $h(n)$。

需要注意的是，由于采用窗函数法设计的滤波器具有较大的过渡带宽度，因此在实际应用中需要进行进一步的优化，如增加滤波器阶数或使用其他更优化的设计方法。