假设有一个三层全连接神经网络，其中输入为x=[1，2]，输出y=[0.7，0.3]损失函数为平均误差为假设有一个三层全连接神经网络，其中输入为x=[1，2]，输出y=[0.7，0.3]损失函数为平均误差，求输出层梯度，求输出层梯度

请注意，您刚才对我说的话重复了，我已经给出了输出层梯度的推导过程和结果。您可以参考我上面的回答，输出层的梯度为：

$$
\frac{\partial L}{\partial L_3}=\left[\begin{matrix}(y_1-t_1)f_3'(W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)+b_3)W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)\\(y_2-t_2)f_3'(W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)+b_3)W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)\end{matrix}\right]
$$

其中，$f_3'$为输出层的激活函数的导数。

相关问题

假设有一个三层全连接神经网络，其中输入为x=[1，2]，输出y=[0.7，0.3]损失函数为平均误差，求输出层梯度

假设该三层全连接神经网络的输出层为$L_3$，输出为$y=[y_1,y_2]$，则平均误差损失函数为：

$$
L = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}(y_i-t_i)^2
$$

其中$t=[t_1,t_2]$为真实标签。根据链式法则，输出层$L_3$的梯度可以表示为：

$$
\frac{\partial L}{\partial L_3}=\frac{\partial L}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial L_3}
$$

其中，$\frac{\partial L}{\partial y}$可以表示为：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial y_1} &= \frac{\partial}{\partial y_1}\frac{1}{2}(y_1-t_1)^2 \\
&= (y_1-t_1)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial y_2} &= \frac{\partial}{\partial y_2}\frac{1}{2}(y_2-t_2)^2 \\
&= (y_2-t_2)
\end{aligned}
$$

$\frac{\partial y}{\partial L_3}$可以表示为：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial y_1}{\partial L_3} &= \frac{\partial}{\partial L_3}(f_3(W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)+b_3))\\
&= f_3'(W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)+b_3)W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial y_2}{\partial L_3} &= \frac{\partial}{\partial L_3}(f_3(W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)+b_3))\\
&= f_3'(W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)+b_3)W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)
\end{aligned}
$$

其中，$f_3'$为输出层的激活函数的导数。将上述结果代入$\frac{\partial L}{\partial L_3}$的公式，可以得到输出层的梯度为：

$$
\frac{\partial L}{\partial L_3}=\left[\begin{matrix}(y_1-t_1)f_3'(W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)+b_3)W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)\\(y_2-t_2)f_3'(W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)+b_3)W_3f_2(W_2f_1(W_1x+b_1)+b_2)\end{matrix}\right]
$$

注意到这里的$\frac{\partial L}{\partial L_3}$是一个列向量，其维度与输出$y$的维度相同。

假设有一个三层全连接神经网络，包含输入层、隐藏层和输出层，其中输入为x=[1，2]，输出为y_hat=[0.7，0.3]，损失函数为平方误差: w1 w3 x(2)------>(3)h------>(2) y_hat(损失函数:L=(y-y_hat)^2) w2 w4 1、计算输出层的梯度 2、计算输出层到隐藏层的权重梯度: 3、计算隐藏层的梯度 4计算输入层到隐藏层的权重梯度

好的，让我来回答你的问题：

1. 计算输出层的梯度：
根据链式法则，输出层的梯度可以表示为：
∂L/∂y_hat * ∂y_hat/∂z = 2(y_hat - y) * σ'(z)，其中σ'(z)表示sigmoid函数的导数。

带入数据，可得：
∂L/∂y_hat = 2(y_hat - y) = 2([0.7, 0.3] - [y1, y2]) = [1.4 - 2y1, 0.6 - 2y2]
∂y_hat/∂z = σ'(z) = σ(z) * (1 - σ(z)) = [0.7 * (1 - 0.7), 0.3 * (1 - 0.3)] = [0.21, 0.21]

所以，输出层的梯度为：
[1.4 - 2y1, 0.6 - 2y2] * [0.21, 0.21] = [0.294 - 0.42y1, 0.126 - 0.42y2]

2. 计算输出层到隐藏层的权重梯度：
输出层到隐藏层的权重梯度可以表示为：
∂L/∂w2 = ∂L/∂y_hat * ∂y_hat/∂z * ∂z/∂w2 = [0.294 - 0.42y1, 0.126 - 0.42y2] * h

所以，输出层到隐藏层的权重梯度为：
[0.294 - 0.42y1, 0.126 - 0.42y2] * [h1, h2] = [0.294h1 - 0.42y1h1, 0.126h2 - 0.42y2h2]

3. 计算隐藏层的梯度：
隐藏层的梯度可以表示为：
∂L/∂h = (∂L/∂y_hat * ∂y_hat/∂z * ∂z/∂h) = [0.294 - 0.42y1, 0.126 - 0.42y2] * [w2, w4]

带入数据，可得：
∂L/∂h = [0.294 - 0.42y1, 0.126 - 0.42y2] * [w2, w4]
= [0.294w2 - 0.42y1w2 + 0.126w4 - 0.42y2w4, 0.294w2 - 0.42y1w2 + 0.126w4 - 0.42y2w4]

4. 计算输入层到隐藏层的权重梯度：
输入层到隐藏层的权重梯度可以表示为：
∂L/∂w1 = ∂L/∂h * ∂h/∂z * ∂z/∂w1 = (∂L/∂h * ∂h/∂z) * ∂z/∂w1 = ∂L/∂z * ∂z/∂w1

其中，∂L/∂z可以根据上面的计算得到，∂z/∂w1为输入层的数据。

所以，输入层到隐藏层的权重梯度为：
[0.294 - 0.42y1, 0.126 - 0.42y2] * [w2, w4] * [x1, x2]
= [0.294w2 - 0.42y1w2 + 0.126w4 - 0.42y2w4] * [x1, x2]