已知表面积求正圆台最大体积

设正圆台的上底半径为 $r$，下底半径为 $R$，高为 $h$，则它的表面积为 $S = \pi(r+R)\sqrt{(R-r)^2+h^2}+\pi R^2+\pi r^2$。

根据正圆台的几何性质，可以得到 $h=\frac{H(R-r)}{R-R}$，其中 $H$ 为正圆锥的高，即 $h$ 与 $H$ 成比例。将 $h$ 代入表面积式子，得到：

$S = \pi(R+r)\sqrt{\frac{H^2(R-r)^2}{(R-r)^2}+\frac{(R-r)^2}{R-R}}+\pi R^2+\pi r^2$

化简一下，得到：

$S = \pi(R+r)\sqrt{H^2+(R-r)^2}+\pi R^2+\pi r^2$

现在我们的目标是求出在表面积一定的情况下正圆台的最大体积 $V$。根据数学知识，可以通过求解极值来实现。因此，我们要先求出 $V$ 关于 $r$ 和 $R$ 的函数表达式，然后求出其一阶偏导数，令其等于零，再解方程求出最优解。

正圆台的体积公式为 $V = \frac13\pi h(R^2+Rr+r^2)$，代入 $h$ 的表达式，得到：

$V = \frac13\pi\frac{H(R-r)}{R-R}(R^2+Rr+r^2)$

化简一下，得到：

$V = \frac13\pi H\frac{(R-r)(R^2+Rr+r^2)}{R-R}$

将上式代入表面积式子，得到：

$S = \pi(R+r)\sqrt{H^2+(R-r)^2}+\pi R^2+\pi r^2$

化简一下，得到：

$S = \pi R^2+\pi r^2+\pi(R+r)\sqrt{H^2+(R-r)^2}$

现在，我们要求出 $S$ 关于 $r$ 的一阶偏导数和 $R$ 的一阶偏导数，分别令其等于零，解方程组得到最优解。

$\frac{\partial S}{\partial r} = 2\pi r+\pi\sqrt{H^2+(R-r)^2}-\pi(R+r)\frac{R-r}{\sqrt{H^2+(R-r)^2}}=0$

$\frac{\partial S}{\partial R} = 2\pi R+\pi\sqrt{H^2+(R-r)^2}-\pi(R+r)\frac{H}{\sqrt{H^2+(R-r)^2}}=0$

将上面两式整理，得到：

$r = \frac{H^2R}{2H^2-R^2}$

$R = \frac{H^2r}{2H^2-r^2}$

将上面两式代入正圆台的体积公式，得到最大体积为：

$V_{max} = \frac{1}{27}\pi H^3$

因此，已知表面积时，正圆台的最大体积是 $\frac{1}{27}\pi H^3$。