已知易拉罐体积一定，易拉罐由正圆台和正圆柱组成，求易拉罐最小表面积的详细过程

好的，这是一道优化问题。我们可以先列出易拉罐的表面积公式：

$S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + 2\pi rh$

其中，$r$ 表示圆台底面半径，$h$ 表示圆台高度，$S$ 表示表面积。

易拉罐的体积一定，即

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h + \pi r^2 h = \frac{4}{3}\pi r^2 h$

我们要求的是最小表面积，可以使用 Lagrange 乘数法求解。设 Lagrange 乘数为 $\lambda$，则有以下的方程组：

$$\begin{cases}
\frac{\partial S}{\partial r} = \lambda \frac{\partial V}{\partial r}\\
\frac{\partial S}{\partial h} = \lambda \frac{\partial V}{\partial h}\\
V = \text{常数}
\end{cases}$$

对第一式求偏导数得：

$$\frac{\partial S}{\partial r} = 2\pi r + \frac{\pi h r}{\sqrt{r^2 + h^2}} = \lambda \cdot \frac{\partial V}{\partial r} = \frac{8}{3}\pi rh$$

对第二式求偏导数得：

$$\frac{\partial S}{\partial h} = \pi r \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}} + 2\pi r = \lambda \cdot \frac{\partial V}{\partial h} = \frac{4}{3}\pi r^2$$

将 $V$ 代入可得：

$$\frac{4}{3}\pi r^2 h = \text{常数}$$

解出 $h$：

$$h = \frac{3\text{常数}}{4\pi r^2}$$

代入 $\frac{\partial S}{\partial r}$ 式中：

$$2\pi r + \frac{\pi \cdot 3\text{常数}}{4\pi r} = \frac{8}{3}\pi r \cdot \frac{3\text{常数}}{4\pi r^2}$$

化简可得：

$$r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$$

代入 $h$ 式中：

$$h = \frac{3V}{4\pi r^2} = \frac{3V}{4\pi (\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}})^2} = \frac{4V^{2/3}}{3\pi^{1/3}}$$

最后代入表面积公式可得：

$$S = \pi (\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}})^2 + \pi \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} \sqrt{\left(\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\right)^2 + \left(\frac{4V^{2/3}}{3\pi^{1/3}}\right)^2} + 2\pi \left(\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\right) \left(\frac{4V^{2/3}}{3\pi^{1/3}}\right)$$

化简并合并同类项可得：

$$S = \frac{6\sqrt{3}}{5}V^{2/3}\pi^{2/3}$$

因此，易拉罐最小表面积为 $\frac{6\sqrt{3}}{5}V^{2/3}\pi^{2/3}$。