用线性筛法求互质的算法的时间复杂度和空间复杂度是多少

时间: 2024-05-22 12:14:55 浏览: 16
线性筛法求互质的算法时间复杂度为$O(n)$,空间复杂度为$O(n)$。其中,时间复杂度的计算基于线性筛法的原理,即每个合数只会被它的最小质因子筛掉一次,因此每个数仅会被筛掉一次,时间复杂度为线性的$O(n)$。空间复杂度的计算基于筛选素数时需要用到的bool数组,大小为$n$,所以空间复杂度也是线性的$O(n)$。
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扩展欧几里得算法是求解一元一次不定方程 ax + by = gcd(a,b) 的一种方法,其中 a 和 b 是整数,gcd(a,b) 是它们的最大公约数,x 和 y 是整数解。逆元是指在模运算下,一个数的乘法逆元是指与它相乘后模运算得到 1 的数。在数论中,常常需要求一个数在模意义下的逆元,即一个数 k 满足 (k * x) % m = 1,其中 m 是模数。 下面是扩展欧几里得算法求逆元的 C 语言实现: ```c #include <stdio.h> // 扩展欧几里得算法 int exgcd(int a, int b, int *x, int *y) { if (b == 0) { *x = 1; *y = 0; return a; } int gcd = exgcd(b, a % b, y, x); *y -= a / b * (*x); return gcd; } // 求逆元 int modinv(int a, int m) { int x, y; int gcd = exgcd(a, m, &x, &y); if (gcd != 1) { return -1; // a 和 m 不互质,不存在逆元 } else { return (x % m + m) % m; // 转化为正整数 } } int main() { int a = 3, m = 11; int inv = modinv(a, m); if (inv == -1) { printf("%d 在模 %d 意义下不存在逆元\n", a, m); } else { printf("%d 在模 %d 意义下的逆元是 %d\n", a, m, inv); } return 0; } ``` 这个程序中,exgcd 函数通过递归实现扩展欧几里得算法,返回 a 和 b 的最大公约数,并且求出 x 和 y 的值。在 modinv 函数中,我们调用 exgcd 函数求出 a 和 m 的最大公约数,并且判断 a 和 m 是否互质,如果不互质则不存在逆元。否则,根据扩展欧几里得算法的结果,求出 x 的值作为 a 在模 m 意义下的逆元。注意,由于 x 可能是负数,所以要将其转化为正整数。

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