用python实现二进制扩展欧几里得算法
时间: 2023-09-23 19:02:32 浏览: 45
下面是用 Python 实现二进制扩展欧几里得算法的代码:
```python
def binary_extended_gcd(a, b):
if b == 0:
return a, 1, 0
gcd, x1, y1 = binary_extended_gcd(b, a % b)
x = y1
y = x1 - (a // b) * y1
return gcd, x, y
```
在这个函数中,我们使用递归来计算最大公约数和乘法逆元。当 b 等于 0 时,a 就是最大公约数,x 等于 1,y 等于 0。否则,我们递归地调用函数,直到 b 等于 0。然后,我们使用递归返回的结果来计算 x 和 y。
接下来,我们可以使用这个函数来计算两个数 a 和 b 的最大公约数和它们的乘法逆元:
```python
a = 21
b = 14
gcd, x, y = binary_extended_gcd(a, b)
print("gcd({0}, {1}) = {2}".format(a, b, gcd))
print("{0} * {1} + {2} * {3} = {4}".format(a, x, b, y, gcd))
```
输出结果为:
```
gcd(21, 14) = 7
21 * 1 + 14 * -1 = 7
```
这表明 21 和 14 的最大公约数为 7,21 和 14 的乘法逆元为 -1(在模 14 意义下)。
相关问题
用python实现扩展欧几里得算法
好的,以下是使用Python实现扩展欧几里得算法的代码:
```python
def extended_euclidean_algorithm(a, b):
"""
扩展欧几里得算法求解ax + by = gcd(a, b)的一组解(x, y)
:param a: 整数a
:param b: 整数b
:return: 一组解(x, y)
"""
if b == 0:
return 1, 0, a
x1, y1, gcd = extended_euclidean_algorithm(b, a % b)
x, y = y1, x1 - (a // b) * y1
return x, y, gcd
```
函数`extended_euclidean_algorithm(a, b)`接受两个整数`a`和`b`作为输入,返回一组解`(x, y, gcd)`,其中`x`和`y`是满足`ax + by = gcd(a, b)`的一组解,`gcd`是`a`和`b`的最大公约数。
该函数使用递归实现,每次递归时调换`a`和`b`的位置,直到`b`等于0时返回`a`、`x`和`y`的值。在递归回溯的过程中,利用`x1`、`y1`和`a // b`计算出`x`和`y`的值,最后返回一组解`(x, y, gcd)`。
python扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法是一种用于求解一元线性同余方程的算法,可以表示为ax ≡ b (mod n)。在Python中,我们可以用以下函数来实现扩展欧几里得算法:
```python
def extended_gcd(a, b):
if b == 0:
return 1, 0, a
else:
x, y, d = extended_gcd(b, a % b)
return y, x - (a // b) * y, d
def solve_linear_congruence(a, b, n):
x, y, d = extended_gcd(a, n)
if b % d == 0:
x0 = (x * (b // d)) % n
for i in range(d):
print("x ≡", (x0 + i * (n // d)) % n, "(mod", n, ")")
else:
print("无解")
```
在这段代码中,我们首先定义了一个`extended_gcd`函数,用于计算扩展欧几里得算法的结果。然后我们定义了一个`solve_linear_congruence`函数,用于解一元线性同余方程。这个函数会调用`extended_gcd`函数来得到结果,并根据情况输出方程的解或者无解情况。
通过这段代码,我们可以方便地在Python中使用扩展欧几里得算法来解决一元线性同余方程,这对于一些加密算法和数论问题来说是非常有用的。