求“最小代价”问题:对于一个有向图,每个点都有一个值wi,wi > 0,原点s到该点的代价为s到该点的wi之和。设计算法,求s到每个点的最小代价,写伪代码,分析时间复杂度,证明算法正确性
时间: 2024-02-25 10:51:38 浏览: 23
这是一个经典的单源最短路径问题,可以使用Dijkstra算法来解决。其基本思想是维护一个集合S,表示已经求出最短路径的点的集合,初始时S只包含起点s。然后每次从未包含在S中的点中选取一个距离s最近的点u,更新u的邻居节点的距离,并加入S中。重复执行此操作直到所有点都被包含在S中,此时每个点的距离就是从s到该点的最小代价。
伪代码如下:
```
1 function Dijkstra(G, w, s)
2 for each vertex v in G
3 dist[v] := infinity
4 dist[s] := 0
5 S := empty set
6 Q := set of all vertices
7 while Q is not empty
8 u := vertex in Q with smallest dist[u]
9 remove u from Q
10 add u to S
11 for each neighbor v of u
12 alt := dist[u] + w(u, v)
13 if alt < dist[v]
14 dist[v] := alt
15 return dist
```
其中,G表示有向图,w表示边权重函数,s表示起点,dist[u]表示从s到u的最小代价,S表示已经求出最短路径的点的集合,Q表示未包含在S中的点的集合。
时间复杂度为O(|V|^2),其中|V|表示图的节点数。但是可以使用优先队列来优化,使时间复杂度降为O(|E|log|V|),其中|E|表示图的边数。
正确性证明:Dijkstra算法基于贪心策略,每次从未包含在S中的点中选取一个距离s最近的点u,并更新u的邻居节点的距离。由于每个点的权值都大于0,所以在更新u的邻居节点的距离时,如果经过u的路径比原来的路径更优,则新路径上的每个点到s的距离都比原来的路径更小。因此,每个点的距离都是最优的,证毕。