二、计算题： a)已知一个如下图所示的训练数据集，其正类样本为x1= (3.3)T，x^2=(4.3)T，负类样本是x_=(1,1)5。 训练样本分布 7 6 ii. 2 3 4 5 试写出上述问题的线性 SVM 原始优化问题的数学形式， 包含目标函数与约束条件； 试写出经过拉格朗日对偶处理后的优化问题的数学形式， 包含目标函数与约束条件： iv. 试写出SVM对应的KKT条件。 对照图中的决策面和间隔区域，试推算样本xi,i=1,2.3对 应的系数αi,i=12,3.

a) 线性 SVM 原始优化问题的数学形式如下：

目标函数：$\min\limits_{w,b}\frac{1}{2}||w||^2$

约束条件：$y_i(w^Tx_i+b)\geq 1, i=1,2,3$

其中，$w$为超平面的法向量，$b$为截距，$x_i$为样本，$y_i\in\{-1,1\}$为样本类别。

经过拉格朗日对偶处理后的优化问题的数学形式如下：

目标函数：$\max\limits_{\alpha}\sum\limits_{i=1}^{3}\alpha_i-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^{3}y_iy_j\alpha_i\alpha_jx_i^Tx_j$

约束条件：$\sum\limits_{i=1}^{3}y_i\alpha_i=0$

其中，$\alpha_i$为拉格朗日乘子，对应于每个样本。通过求解上述对偶问题，可以得到超平面的法向量$w$和截距$b$。

SVM对应的KKT条件包括：

1. $\alpha_i\geq 0$

2. $y_i(w^Tx_i+b)-1+\xi_i=0$

3. $\alpha_i[y_i(w^Tx_i+b)-1+\xi_i]=0$

4. $\sum\limits_{i=1}^{3}y_i\alpha_i=0$

其中，$\xi_i$为松弛变量，$\alpha_i=0$意味着样本$i$不在支持向量上，$\alpha_i>0$意味着样本$i$在支持向量上，$0<\alpha_i<C$意味着样本$i$在间隔边界上。

根据图中给出的决策面和间隔区域，可以推算出样本$x_1=(3.3)^T$对应的系数$\alpha_1=1$，样本$x_2=(4.3)^T$对应的系数$\alpha_2=\frac{1}{2}$，样本$x_3=(1,1)^T$对应的系数$\alpha_3=0$（因为$x_3$是负类样本，不在支持向量上）。