不用库函数，用python实现求矩阵特征值和特征向量

要求矩阵的特征值和特征向量，可以使用numpy库中的`linalg.eig`方法。但是，如果不使用库函数，可以使用以下步骤求解：

1. 先求解矩阵的特征多项式，即 $|A - \lambda I|$，其中 $A$ 是矩阵，$\lambda$ 是特征值，$I$ 是单位矩阵。
2. 解特征多项式得到特征值。
3. 对于每个特征值，求解其对应的特征向量。

以下是一个简单的代码示例：

# 定义矩阵
A = [[1, 2], [2, 1]]

# 求解特征多项式
def characteristic_poly(A, x):
    return (A[0][0]-x)*(A[1][1]-x) - A[0][1]*A[1][0]

# 求解特征值
def eigenvalues(A):
    a = 1
    b = -(A[0][0] + A[1][1])
    c = A[0][0]*A[1][1] - A[0][1]*A[1][0]
    delta = b**2 - 4*a*c
    if delta < 0:
        return []
    elif delta == 0:
        return [-b/(2*a)]
    else:
        return [(-b+delta**0.5)/(2*a), (-b-delta**0.5)/(2*a)]

# 求解特征向量
def eigenvectors(A, eigenvalue):
    matrix = [[A[0][0]-eigenvalue, A[0][1]], [A[1][0], A[1][1]-eigenvalue]]
    vector = [0, 0]
    if matrix[0][0] == 0:
        vector[0] = 1
    else:
        vector[1] = 1
    while True:
        prev_vector = vector
        vector = [matrix[0][1]/(matrix[0][0]-prev_vector[0]), matrix[1][0]/(matrix[1][1]-prev_vector[1])]
        if abs(vector[0]-prev_vector[0]) < 1e-6 and abs(vector[1]-prev_vector[1]) < 1e-6:
            break
    return vector

# 求解特征值和特征向量
eigenvalues = eigenvalues(A)
eigenvectors = [eigenvectors(A, eigenvalue) for eigenvalue in eigenvalues]

# 输出结果
print("特征值：", eigenvalues)
print("特征向量：", eigenvectors)

注意，这个实现并不完整或稳定，只是提供了一种思路和简单的示例。在实际应用中，应该使用更为复杂和准确的算法来求解矩阵的特征值和特征向量。