设D是整环，K是D的商域，设集合S被包含于D为乘法表，证明S的逆是K中包含D的子环

首先，我们需要明确什么是集合S的逆和什么是K中包含D的子环。

集合S的逆是指所有S中元素的逆元素的集合，即$\{s^{-1} | s \in S\}$。

K中包含D的子环指的是一个包含D的子集R，R在加法和乘法下构成一个环。

现在我们来证明S的逆是K中包含D的子环。

首先，由于D是整环，因此每个元素都有唯一的逆元素。所以S的逆是存在的。

其次，我们证明S的逆是K中的子环。我们定义R为S的逆元素构成的集合，即$R=\{s^{-1} | s \in S\}$。

1. R非空：因为D是整环，所以1属于S中，因此1的逆元素1也属于R。

2. R对加法封闭：设$a^{-1}, b^{-1}$属于R，则$(a^{-1}+b^{-1})^{-1}=ab(a+b)^{-1}$。因为S是乘法表，所以$a, b$属于S，因此$a+b$也属于S，$(a+b)^{-1}$也是存在的。因为D是整环，所以$ab$也属于D，因此$ab(a+b)^{-1}$也属于R。

3. R对乘法封闭：设$a^{-1}, b^{-1}$属于R，则$(a^{-1}b^{-1})^{-1}=ab$。因为S是乘法表，所以$a, b$属于S，因此$ab$也属于S，因此$(a^{-1}b^{-1})^{-1}$也属于R。

4. R对加法逆元封闭：设$a^{-1}$属于R，则$(-a)^{-1}=-a^{-1}$属于R。

因此，R在加法和乘法下构成一个环，且包含D，因此S的逆是K中包含D的子环。

相关问题

设D是整环，K是D的商域，设集合S被包含于D为乘法表，证明S^{-1}D中的素理想必有S^{-1}p={m/n｜m属于p，n属于S}的形式，其中p是D的素理想

好的，这是一个关于交换环的代数学问题，需要一些基本的知识和技巧。首先，我们需要知道什么是素理想和本质不同的素理想。

一个环R中的理想p称为素理想，如果对于任意的a,b∈R，如果ab∈p，则a∈p或b∈p。也就是说，如果p不是素理想，那么存在a,b∈R，使得ab∈p，但是a∉p且b∉p。

两个素理想p和q称为本质不同，如果它们不是同一个理想，且不存在一个中间理想使得它同时包含于p和q。

有了这些基本概念，我们来证明题目中的结论。假设S^{-1}p不是一般的形式，则存在一个元素m/n∈S^{-1}p，使得m/n不属于S^{-1}p的任何一个素理想。也就是说，对于任意的素理想q，都有m/n∉S^{-1}q。

考虑将S^{-1}p扩张到D中，即考虑S^{-1}p在D中的预像p'={x∈D| x/n∈S^{-1}p}。因为S^{-1}p是素理想，所以p'也是素理想。另外，对于任意的a∈p，我们有a/n∈S^{-1}p，所以a∈p'。因此，p包含于p'。

另一方面，对于任意的素理想q，如果q不等于p，则p'∩q是一个中间理想，它同时包含于p和q。因为p和q是本质不同的素理想，所以p'∩q=D。因此，对于任意的素理想q，都有p'∩q=p。

现在考虑元素m∈p。因为m/n∈S^{-1}p，所以m∈p'。因此，p等于p'。因此，我们得到了一个矛盾，因为我们假设了S^{-1}p不是一般的形式。因此，S^{-1}p必须具有所需的形式，即S^{-1}p={m/n｜m属于p，n属于S}。

设n大于等于2是正整数，若p为素数，Z/pZ为域。若n大于等于2不为素数，则Z/nZ不是整环

如果n不是素数，那么存在两个大于1的整数a和b，使得n=ab。因此，在环Z/nZ中，有ab ≡ 0 (mod n)。由于n不是素数，所以a和b都不等于1和n本身。因此，环Z/nZ中存在零因子，即a和b都不为零，但它们的乘积却为零。

在一个整环中，如果存在零因子，则该整环不是一个域。因此，如果n大于等于2不为素数，则环Z/nZ不是一个域。