matlab实现双正交傅里叶变换

双正交傅里叶变换（Biorthogonal Fourier Transform, BFT）是一种信号处理技术，它是一种两个正交基的傅里叶变换。BFT 可以描述不同分辨率的信号，并且可以应用于图像处理、压缩和通信等领域。下面是 MATLAB 实现 BFT 的代码：

假设输入信号为 x，长度为 N，BFT 的正交基为 φ 和 ψ。则 BFT 可以表示为：

$$
\begin{aligned}
\hat{x}(\omega) &= \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \phi_n(\omega) \\
\tilde{x}(\omega) &= \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \psi_n(\omega)
\end{aligned}
$$

其中，$\phi_n$ 和 $\psi_n$ 是 φ 和 ψ 的基函数。BFT 的逆变换为：

$$
x(n) = \frac{1}{N} \sum_{\omega=0}^{N-1} \hat{x}(\omega) \phi_n(\omega) + \tilde{x}(\omega) \psi_n(\omega)
$$

下面是一个 MATLAB 实现的例子：

% 定义信号
N = 128;
x = randn(N, 1);

% 定义正交基
phi = @(n, w) exp(-2*pi*1i*n*w/N);
psi = @(n, w) exp(-2*pi*1i*(n+1/2)*w/N);

% 计算 BFT
Xhat = zeros(N, 1);
Xtilde = zeros(N, 1);
for w = 0:N-1
    for n = 0:N-1
        Xhat(w+1) = Xhat(w+1) + x(n+1) * phi(n, w);
        Xtilde(w+1) = Xtilde(w+1) + x(n+1) * psi(n, w);
    end
end

% 计算逆 BFT
x_recon = zeros(N, 1);
for n = 0:N-1
    for w = 0:N-1
        x_recon(n+1) = x_recon(n+1) + Xhat(w+1) * phi(n, w) / N + Xtilde(w+1) * psi(n, w) / N;
    end
end

% 绘制结果
t = 0:N-1;
subplot(2, 1, 1);
plot(t, x);
title('原始信号');
subplot(2, 1, 2);
plot(t, x_recon);
title('重构信号');

上述代码首先定义了信号 x 和正交基 φ 和 ψ。然后，通过嵌套的循环计算了信号在 φ 和 ψ 基下的 BFT 系数 Xhat 和 Xtilde。最后，通过另一个循环计算了逆 BFT，得到重构信号 x_recon。最后，绘制了原始信号和重构信号的图形。