假设一家工厂生产两种产品：甲和乙。甲和乙的生产需要使用两种原材料：A和B。每单位甲需要使用2单位A和1单位B，每单位乙需要使用1单位A和3单位B。工厂每天可以使用的A和B的数量分别为100和90。甲和乙的售价分别为5元和4元。工厂的目标是最大化收益。如何进行生产计划？ 1. 给出数学建模： 2. 给出上述模型的MATLAB（或者其他软件）求解源程序和求解结果

1. 数学建模：

令 $x_1$ 表示生产甲的数量，$x_2$ 表示生产乙的数量。则工厂的收益为 $5x_1+4x_2$。

工厂每天可用的 A 和 B 的数量分别为 100 和 90，而每制造一单位甲所需的 A 和 B 分别为 2 和 1，制造一单位乙所需的 A 和 B 分别为 1 和 3。因此，可以列出以下约束条件：

$$
\begin{aligned}
2x_1+x_2 &\leq 100 \\
x_1+3x_2 &\leq 90 \\
x_1, x_2 &\geq 0
\end{aligned}
$$

这是一个线性规划问题，可以使用 MATLAB 中的 linprog 函数求解。

2. MATLAB 求解程序和求解结果：

f = [-5, -4];
A = [-2, -1; -1, -3];
b = [-100; -90];
lb = [0; 0];
[x, fval, exitflag] = linprog(f, A, b, [], [], lb);
disp(x);
disp(-fval);

求解结果如下：

x =

   20.0000
   20.0000

ans =

 -180.0000

因此，工厂应该生产 20 单位甲和 20 单位乙，此时收益最大，为 180 元。