MATLAB代码及分析

下面是一个简单的MATLAB代码实现牛顿法求解非线性方程的示例：

function [x, n] = newton(f, df, x0, eps, max_iter)
% f: 非线性方程
% df: f的导数
% x0: 初始值
% eps: 精度要求
% max_iter: 最大迭代次数

x = x0;
n = 0;
err = inf;

while err > eps
    n = n + 1;
    if n > max_iter
        error('达到最大迭代次数');
    end
    x_new = x - f(x) / df(x);
    err = abs(x_new - x);
    x = x_new;
end

end

这个函数接受四个输入参数：非线性方程$f$、$f$的导数$df$、初始值$x0$、精度要求$eps$和最大迭代次数$max\_iter$。它的输出是方程的根$x$和迭代次数$n$。

下面我们以求解方程$x^3 - 5x + 1 = 0$为例，来分析一下这个函数的实现。首先需要定义$f$和$df$：

f = @(x) x^3 - 5*x + 1;
df = @(x) 3*x^2 - 5;

然后选择初始值$x0$、精度要求$eps$和最大迭代次数$max\_iter$：

x0 = 1;
eps = 1e-6;
max_iter = 100;

最后调用函数：

[x, n] = newton(f, df, x0, eps, max_iter);

这个函数返回的$x$和$n$分别是方程的近似根和迭代次数。我们可以将其输出：

fprintf('方程的近似根是：%f\n', x);
fprintf('迭代次数是：%d\n', n);

这个程序输出的结果为：

方程的近似根是：0.201639
迭代次数是：5

可以看到，牛顿法迭代了5次，得到了方程的近似根，其精度符合要求。