paillier同态加密c算法

Paillier同态加密算法是一种公钥加密算法，它可以支持加密数据的同态加法和同态乘法。在Paillier算法中，加密和解密都是基于大素数的RSA算法。其加密过程如下：

1.生成两个大质数p和q，计算n=pq，其中p和q必须是相对较大的质数。

2.计算λ=lcm(p-1,q-1)，其中lcm为最小公倍数。

3.选择一个随机数g，要求g^n mod n^2 = 1，且g不等于1。

4.计算μ=(L(g^λ mod n^2))^(-1) mod n，其中L(x)=(x-1)/n。

5.公钥为(n,g)，私钥为(λ,μ)。

6.加密明文m，选择一个随机数r，计算c=g^m * r^n mod n^2。

7.解密密文c，计算m=L(c^λ mod n^2) * μ mod n。

Paillier算法的同态加法和同态乘法的实现如下：

同态加法：密文c1和密文c2的和为c1*c2 mod n^2。

同态乘法：密文c的k次幂为c^k mod n^2，密文c的乘法等价于明文的加法，即密文c1和密文c2解密得到明文m1和m2，它们的积m1*m2对应的密文为c1^m2 mod n^2 * c2^m1 mod n^2。

Paillier算法的一个应用是在安全多方计算中，它可以保证不泄漏任何参与者的输入数据，同时能够完成计算任务。

相关问题

paillier同态加密c语言算法

Paillier同态加密算法是一种基于离散对数的加密算法，它可以实现同态加密和同态解密，支持加法和数乘操作。以下是一个基于C语言的Paillier同态加密算法实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <gmp.h>

//定义素数位数
#define PRIME_SIZE 128

//定义随机数生成函数
void rand_num(mpz_t r, mpz_t n)
{
    gmp_randstate_t grt;
    gmp_randinit_mt(grt);   //初始化随机数生成器
    gmp_randseed_ui(grt, time(NULL));   //设置种子
    do {
        mpz_urandomb(r, grt, PRIME_SIZE);   //生成 PRIME_SIZE 位的随机数
    } while(mpz_cmp(r, n) >= 0);    //确保随机数小于 n
}

//定义模幂运算函数
void mod_pow(mpz_t r, mpz_t a, mpz_t b, mpz_t n)
{
    mpz_t res;
    mpz_init(res);
    mpz_set_ui(res, 1);
    mpz_t temp;
    mpz_init(temp);
    mpz_set(temp, a);
    while(mpz_cmp_ui(b, 0) > 0) {
        if(mpz_odd_p(b)) {
            mpz_mul(res, res, temp);
            mpz_mod(res, res, n);
        }
        mpz_mul(temp, temp, temp);
        mpz_mod(temp, temp, n);
        mpz_fdiv_q_ui(b, b, 2);
    }
    mpz_set(r, res);
}

//定义求逆元函数
void mod_inv(mpz_t r, mpz_t a, mpz_t n)
{
    mpz_t t, newt, r0, r1, q, temp;
    mpz_init(t);
    mpz_init(newt);
    mpz_init(r0);
    mpz_init(r1);
    mpz_init(q);
    mpz_init(temp);
    mpz_set(r0, n);
    mpz_set(r1, a);
    mpz_set_ui(t, 0);
    mpz_set_ui(newt, 1);
    while(mpz_cmp_ui(r1, 0) != 0) {
        mpz_fdiv_q(q, r0, r1);
        mpz_set(temp, t);
        mpz_set(t, newt);
        mpz_mul(newt, q, newt);
        mpz_sub(newt, temp, newt);
        mpz_set(temp, r0);
        mpz_set(r0, r1);
        mpz_mul(temp, q, r1);
        mpz_sub(r1, r0, temp);
    }
    if(mpz_cmp_ui(r0, 1) != 0)
        printf("Error: No inverse exists!\n");
    else
        mpz_set(r, t);
}

//定义加密函数
void paillier_encrypt(mpz_t ct, mpz_t m, mpz_t n, mpz_t g)
{
    mpz_t r, c1, c2, temp;
    mpz_init(r);
    mpz_init(c1);
    mpz_init(c2);
    mpz_init(temp);
    rand_num(r, n);  //生成随机数 r
    mod_pow(temp, g, m, n);   //计算 g^m mod n
    mod_pow(c1, r, n, n); //计算 r^n mod n^2
    mpz_mul(c2, c1, temp);  //计算 c1 * (g^m mod n) mod n^2
    mpz_mod(ct, c2, n*n);   //计算密文 ct = c1 * (g^m mod n) mod n^2
}

//定义解密函数
void paillier_decrypt(mpz_t pt, mpz_t ct, mpz_t n, mpz_t lambda)
{
    mpz_t c1, c2, temp, temp1, temp2;
    mpz_init(c1);
    mpz_init(c2);
    mpz_init(temp);
    mpz_init(temp1);
    mpz_init(temp2);
    mod_pow(c1, ct, lambda, n*n);   //计算 c1 = (ct^lambda mod n^2)
    mod_pow(temp, n, lambda, n*n);  //计算 n^lambda mod n^2
    mod_inv(temp1, n, n*n); //计算 n的逆元 n^-1 mod n^2
    mpz_sub(temp2, c1, 1);  //计算 c1-1
    mpz_fdiv_q(temp, temp2, n); //计算 (c1-1)/n
    mpz_mul(temp1, temp, temp1);    //计算 ((c1-1)/n) * (n^-1 mod n^2)
    mpz_mod(pt, temp1, n);  //计算明文 pt = ((c1-1)/n) * (n^-1 mod n^2) mod n
}

int main()
{
    //定义参数
    mpz_t p, q, n, lambda, g, m, ct, pt;
    mpz_init(p);
    mpz_init(q);
    mpz_init(n);
    mpz_init(lambda);
    mpz_init(g);
    mpz_init(m);
    mpz_init(ct);
    mpz_init(pt);

    //生成两个大素数 p 和 q
    gmp_randstate_t grt;
    gmp_randinit_mt(grt);
    gmp_randseed_ui(grt, time(NULL));
    mpz_urandomb(p, grt, PRIME_SIZE);
    mpz_nextprime(p, p);
    mpz_urandomb(q, grt, PRIME_SIZE);
    mpz_nextprime(q, q);

    //计算 n = p * q
    mpz_mul(n, p, q);

    //计算 lambda = lcm(p-1, q-1)
    mpz_sub_ui(p, p, 1);
    mpz_sub_ui(q, q, 1);
    mpz_lcm(lambda, p, q);

    //生成 g = n + 1
    mpz_add_ui(g, n, 1);

    //生成明文 m
    mpz_set_ui(m, 123456);

    //加密明文 m
    paillier_encrypt(ct, m, n, g);

    //解密密文 ct
    paillier_decrypt(pt, ct, n, lambda);

    //输出结果
    gmp_printf("p = %Zd\nq = %Zd\nn = %Zd\nlambda = %Zd\ng = %Zd\nm = %Zd\nct = %Zd\npt = %Zd\n", p, q, n, lambda, g, m, ct, pt);

    //释放内存
    mpz_clear(p);
    mpz_clear(q);
    mpz_clear(n);
    mpz_clear(lambda);
    mpz_clear(g);
    mpz_clear(m);
    mpz_clear(ct);
    mpz_clear(pt);

    return 0;
}

需要注意的是，Paillier同态加密算法中的加法和数乘操作是基于明文的，即需要将密文解密为明文后再进行操作。

paillier同态加密算法

Paillier同态加密算法是一种公钥加密算法，可以实现同态加密。它的加密过程如下：

1. 选择两个大素数p和q，计算N=pq，ϕ(N)=(p-1)(q-1)。

2. 选择一个随机数g，满足gcd(L(g^λ mod N^2), N) = 1，其中λ = LCM(p-1, q-1)，L(x) = (x-1)/N。

3. 将明文m转换为整数M，满足0≤M<N。

4. 随机选择一个整数r，满足0≤r<N。

5. 计算密文c，其中c=(g^M)*(r^N) mod N^2。

Paillier同态加密算法的解密过程如下：

1. 计算L(c^λ mod N^2) / L(g^λ mod N^2) mod N。

2. 将计算结果转换为明文m。

Paillier同态加密算法的同态加法性质：设c1和c2是分别加密了明文m1和m2的密文，令c3 = c1 * c2 mod N^2，则c3解密后的明文为m1+m2 mod N。

Paillier同态加密算法的同态乘法性质：设c是加密了明文m的密文，令c'=c^k mod N^2，则c'解密后的明文为k*m mod N。