增广拉格朗日乘子法(Augmented Lagrange Method)
时间: 2023-07-03 09:24:52 浏览: 86
增广拉格朗日乘子法是一种求解约束优化问题的方法。它是基于拉格朗日乘子法的思想,通过引入惩罚项来处理约束条件,从而将原问题转化为一个无约束优化问题。
具体地说,增广拉格朗日乘子法的基本思路是:对于一个带有约束条件的优化问题,我们将其转化为一个带有惩罚项的无约束优化问题,然后通过不断调整惩罚项的系数来逼近原问题的最优解。
具体地,设原问题为:
$$\min_{x\in\mathbb{R}^n}f(x)$$
$$\text{s.t. }g_i(x)\leq 0, i=1,\ldots,m$$
其中,$f(x)$和$g_i(x)$均为连续可微的函数。那么,我们将上述问题转化为:
$$\min_{x\in\mathbb{R}^n}\max_{\lambda\in\mathbb{R}^m_+}L(x,\lambda)$$
其中,$L(x,\lambda)$为拉格朗日函数:
$$L(x,\lambda)=f(x)+\sum_{i=1}^m\lambda_ig_i(x)$$
然后,我们再引入一个惩罚项,得到如下优化问题:
$$\min_{x\in\mathbb{R}^n}\max_{\lambda\in\mathbb{R}^m_+}L(x,\lambda)+\frac{\rho}{2}\sum_{i=1}^mg_i^2(x)$$
其中,$\rho$为惩罚系数,$\mathbb{R}^m_+$表示非负实数集合。通过不断调整$\rho$的大小,我们可以逐步逼近原问题的最优解。
需要注意的是,增广拉格朗日乘子法并不保证收敛到全局最优解,但通常能够得到较好的近似解。此外,增广拉格朗日乘子法的计算量较大,因此在实际应用中需要考虑时间和空间复杂度等问题。