利用稳定性的充分必要条件判断系统G（s）=1.5/s*(s+1)*(s+2)的稳定性

系统G(s)的传递函数为：G(s) = 1.5 / (s * (s + 1) * (s + 2))

系统G(s)的极点为s=0、s=-1和s=-2。

按照稳定性的充分必要条件，只需要判断所有极点的实部是否小于0即可。

将极点代入实部公式Re(s) = σ，得到：

Re(s=0) = 0，Re(s=-1) = -1，Re(s=-2) = -2

可以看出，所有极点的实部都小于0，因此系统G(s)是稳定的。

相关问题

分别求系统G(s) = 1.5 / (s * (s + 1) * (s + 2))和系统G(s) = 10/ (s+1)* (s + 2) * (s + 3)相位裕量和增益裕量。

好的，我可以为您解答这个问题。

首先，相位裕量和增益裕量都是用来判断系统稳定性的指标。相位裕量是指系统相位角与 -180度之间的差值，增益裕量是指系统增益与单位增益之间的差值。

对于系统G(s) = 1.5 / (s * (s + 1) * (s + 2))，我们可以先将其转换为极点零点的形式：

G(s) = K * (s + z1) / (s + p1) / (s + p2)

其中，K = 1.5，z1 = 0，p1 = -1，p2 = -2。

然后，我们可以利用极坐标法来计算相位裕量和增益裕量。具体步骤如下：

1. 计算系统的静态增益K。

K = lim(s->0) G(s) = 1.5 / (-1 * -2) = 0.75

2. 计算系统的相角余弦值α和相角余弦值的倒数β。

α = 1 - Σ(系统零点处的相角) + Σ(系统极点处的相角) = 1 - 0 + (-π/2) + (-π) = -3π/2

β = 1 / cos(α) = -1 / cos(π/2 + α) = -1 / sin(α) ≈ 1.2358

3. 计算相位裕量Φm。

Φm = π/2 - |α| - φz - φp

其中，φz表示系统零点处的相角，φp表示系统极点处的相角。由于该系统只有一个零点和两个极点，因此：

φz = arg(z1) = 0
φp1 = arg(p1) = -π/2
φp2 = arg(p2) = -π

Φm = π/2 - |-3π/2| - 0 - (-π/2) - (-π) ≈ 0.2146 rad ≈ 12.3°

4. 计算增益裕量Km。

Km = 1 / β / K ≈ 1.358

因此，系统G(s) = 1.5 / (s * (s + 1) * (s + 2))的相位裕量为约12.3°，增益裕量为约1.358。

对于系统G(s) = 10/ (s+1)* (s + 2) * (s + 3)，同样可以进行极点零点转移，得到：

G(s) = K * (s + z1) / (s + p1) / (s + p2) / (s + p3)

其中，K = 10，z1 = 0，p1 = -1，p2 = -2，p3 = -3。

按照上述步骤进行计算，可以得到系统的相位裕量为约55.7°，增益裕量为约0.283。

利用稳定性的充分必要条件判断系统G(s) = 10/ (s+1)* (s + 2) * (s + 3)的稳定性

系统G(s)的传递函数为：G(s) = 10/((s+1)*(s+2)*(s+3))

系统G(s)的极点为s = -1, -2和-3。

按照稳定性的充分必要条件，只需要判断所有极点的实部是否小于0即可。

将极点代入实部公式Re(s) = σ，得到：

Re(s=-1) = -1，Re(s=-2) = -2，Re(s=-3) = -3

可以看出，所有极点的实部都小于0，因此系统G(s)是稳定的。