为什么对称矩阵的特征向量互相正交

对称矩阵的特征向量互相正交的原因是因为对称矩阵是正交矩阵相似于对角矩阵的矩阵，即存在一个正交矩阵P，使得P^TAP=D，其中D是对角矩阵。因此，对称矩阵的特征向量可以由正交矩阵P的列向量表示，而正交矩阵的列向量是互相正交的，因此对称矩阵的特征向量也是互相正交的。

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和实对称矩阵特征向量正交的向量一定是某一个特征值对应的特征向量吗

不一定。虽然和实对称矩阵特征向量正交的向量也是特征向量，但它不一定对应于某一个特征值。这是因为实对称矩阵的特征向量是正交的，但并不是所有的向量都可以表示为特征向量的线性组合。实际上，只有当该向量对应于某个特征值时，它才能表示为特征向量的线性组合。因此，如果一个向量和实对称矩阵的某个特征向量正交，但它不是该特征值对应的特征向量，那么它就不是某个特征值对应的特征向量。

为什么对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交

对称矩阵的特征向量正交的性质可以通过以下方式进行证明：

设 $A$ 为一个 $n \times n$ 的实对称矩阵，$v$ 和 $w$ 是 $A$ 的两个特征向量，对应的特征值分别为 $\lambda_v$ 和 $\lambda_w$。

则有：

$$
\begin{aligned}
\lambda_v \langle v,w \rangle &= \lambda_v v^Tw \\
&= v^T(\lambda_v w) \\
&= v^T(Aw) \\
&= (v^TA)w \\
&= ((Av)^T w) \\
&= (\lambda_w v^T w) \\
&= \lambda_w \langle v,w \rangle
\end{aligned}
$$

其中 $\langle v,w \rangle$ 表示向量 $v$ 和 $w$ 的内积。

由于 $A$ 是实对称矩阵，因此 $A$ 的特征值都是实数。根据上述等式，$\lambda_v \langle v,w \rangle = \lambda_w \langle v,w \rangle$，因此 $\langle v,w \rangle$ 只能为 $0$ 或者 $\lambda_v = \lambda_w$。

如果存在 $v$ 和 $w$ 两个不同的特征向量，对应的特征值不同（即 $\lambda_v \neq \lambda_w$），则 $\langle v,w \rangle$ 必须为 $0$，即 $v$ 和 $w$ 正交。

因此，对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。