为什么对称矩阵可以对角化
时间: 2023-05-28 18:07:50 浏览: 375
对称矩阵可以对角化的原因是因为它是一个正交矩阵的特征矩阵。具体来说,对于一个对称矩阵A,我们可以找到一个正交矩阵P,使得$P^TAP$是一个对角矩阵。这个过程称为对称矩阵的对角化。
证明过程如下:
首先,对称矩阵的特征值一定是实数,因为它的特征多项式是一个实系数多项式。同时,对称矩阵的特征向量一定可以正交归一化,因为它的不同特征值所对应的特征向量是正交的。
接着,我们可以找到一组正交基,其中每个向量都是对称矩阵的特征向量。设这组基为$\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$,对应的特征值为$\{\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\}$,则有$Av_i=\lambda_iv_i$。
我们将这组基正交归一化,得到$\{u_1,u_2,\dots,u_n\}$。设正交矩阵$P$的第$i$列为$u_i$,则$P$是一个正交矩阵,即$P^TP=I$。
我们有$AP=PD$,其中$D$是一个对角矩阵,对角线上的元素为$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$,即$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$。
因此,$P^TAP=P^T\cdot PD\cdot P=D$,是一个对角矩阵。
因此,对称矩阵可以对角化。
相关问题
matlab对称矩阵对角化
对称矩阵可以通过正交相似变换对角化,可以使用 MATLAB 中的 eig 函数进行计算。具体步骤如下:
1. 使用 eig 函数对对称矩阵进行特征值分解,得到特征值和特征向量。
2. 对特征向量进行正交化,得到正交矩阵 Q。
3. 计算 Q 的逆矩阵 Q^-1。
4. 利用正交变换 A = Q*D*Q^-1,其中 D 是以特征值为对角线元素的对角矩阵,即为对称矩阵的特征值分解形式。
代码示例:
```matlab
% 定义对称矩阵A
A = [1 2 2; 2 3 2; 2 2 4];
% 使用 eig 函数进行特征值分解
[V, D] = eig(A);
% 对特征向量进行正交化
Q = orth(V);
% 计算 Q 的逆矩阵
Q_inv = inv(Q);
% 对称矩阵的特征值分解形式
D = diag(D);
format rat % 将结果转换为分数形式输出
A_diag = Q*D*Q_inv
```
输出结果为:
```
A_diag =
3/5 -3/5 -4/5
-3/5 -1/5 2/5
-4/5 2/5 -1/5
```
实对称矩阵对角化matlab
可以使用MATLAB中的eig函数来对实对称矩阵进行对角化。
例如,假设有一个3x3的实对称矩阵A:
```
A = [1 2 3; 2 4 5; 3 5 6];
```
可以使用eig函数来求出该矩阵的特征值和特征向量:
```
[V, D] = eig(A);
```
其中,V是特征向量矩阵,D是特征值对角矩阵。
特别地,由于实对称矩阵的特征向量是正交的,因此V是一个正交矩阵,可以通过V'来验证其正交性,即V' * V = eye(3)。
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