计算欧拉函数∮(210)和∮(430)

计算欧拉函数需要分解质因数，然后根据欧拉函数的公式进行计算。

首先来分解质因数：

$210=2\times3\times5\times7$

$430=2\times5\times43$

根据欧拉函数的公式，对于正整数 $n$，$\varphi(n)$ 表示小于等于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的个数，有：

$\varphi(n) = n \times \prod_{p | n, p\in\mathbb{P}}\left(1-\frac{1}{p}\right)$

其中 $\mathbb{P}$ 表示素数集合。

因此，我们可以先计算质因数的欧拉函数值，然后再将它们乘起来即可得到最终结果。

对于 $210$，有：

$\varphi(2)=1$

$\varphi(3)=2$

$\varphi(5)=4$

$\varphi(7)=6$

因此，$\varphi(210)=2\times4\times6=48$

对于 $430$，有：

$\varphi(2)=1$

$\varphi(5)=4$

$\varphi(43)=42$

因此，$\varphi(430)=4\times42=168$

所以，$\varphi(210)=48$，$\varphi(430)=168$。

相关问题

欧拉函数计算 c++

在C++中，您可以使用预处理指令和循环来实现欧拉函数的预处理。以下是一个示例代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAX_N = 1000000;
int phi[MAX_N + 1];

void computePhi() {
    for (int i = 1; i <= MAX_N; i++) {
        phi[i] = i; // 初始化phi数组为各个数本身
    }
    
    for (int p = 2; p <= MAX_N; p++) {
        if (phi[p] == p) { // 如果当前数是素数
            for (int i = p; i <= MAX_N; i += p) {
                phi[i] -= phi[i] / p; // 将i的倍数的phi值减去 phi[i] / p
            }
        }
    }
}

int main() {
    computePhi();
    
    // 使用示例
    int n;
    cout << "请输入一个正整数n：";
    cin >> n;
    
    cout << "欧拉函数phi(" << n << ") = " << phi[n] << endl;
    
    return 0;
}

上述代码中，首先定义了一个全局数组`phi`，用于存储欧拉函数的预处理结果。`computePhi`函数通过两层循环计算欧拉函数的值，并将结果存储在`phi`数组中。在主函数中，您可以输入一个正整数n，然后输出其对应的欧拉函数值。

请注意，由于预处理需要遍历较大的范围，如果MAX_N的值很大，可能会导致较长的计算时间和较大的内存消耗。您可以根据实际需求调整MAX_N的大小。

希望这对您有所帮助！如果您有任何其他问题，请随时提问。

python 欧拉函数

欧拉函数（Euler's totient function），通常用符号 φ(n) 表示，是一个计算与正整数 n 互质的不超过 n 的正整数个数的函数。具体定义如下：

对于任意正整数 n，φ(n) 表示小于等于 n 的正整数中与 n 互质的数的个数。

计算欧拉函数的一种常用方法是使用质因数分解。假设 n 可以分解为 p1^k1 * p2^k2 * ... * pm^km，其中 p1, p2, ..., pm 是不同的质数，k1, k2, ..., km 是对应的幂次。

则根据欧拉函数的性质，有以下公式成立：

φ(n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * ... * (1 - 1/pm)

其中，p1, p2, ..., pm 是 n 的所有质因数。

在 Python 中，可以通过编写一个函数来计算欧拉函数，例如：

def euler_phi(n):
    result = n
    i = 2
    while i * i <= n:
        if n % i == 0:
            while n % i == 0:
                n //= i
            result -= result // i
        i += 1
    
    if n > 1:
        result -= result // n
    
    return result

使用该函数，我们可以计算给定正整数 n 的欧拉函数值，例如：

print(euler_phi(10))  # 输出: 4
print(euler_phi(16))  # 输出: 8
print(euler_phi(30))  # 输出: 8

希望能解答到您的问题。如果有任何进一步的疑问，请随时提问！