parareal求解随机微分方程的python代码

以下是使用Parareal算法求解随机微分方程的Python代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义随机微分方程
def f(x, y):
    return -x*y + np.sqrt(y) * np.random.normal()

# 定义序列函数
def F(x0, y0, t0, tn, N):
    h = (tn - t0) / N
    t = np.linspace(t0, tn, N+1)
    y = np.zeros(N+1)
    y[0] = y0
    for n in range(N):
        y[n+1] = y[n] + h*f(t[n], y[n])
    return t, y

# 定义序列函数的雅可比矩阵
def J(x, y):
    return -x + 0.5 / np.sqrt(y)

# 定义并行函数
def G(x0, y0, t0, tn, N, M):
    t, y = F(x0, y0, t0, tn, N)
    h = (tn - t0) / M
    for m in range(M):
        y[m+1] = y[m] + h*f(t[m], y[m])
        for n in range(N):
            y[m*N+n+1] = y[m*N+n] + h*f(t[m]+n*h, y[m*N+n]) + \
                         J(t[m]+n*h, y[m*N+n])*(y[(m+1)*N+n]-y[m*N+n])
    return t, y

# 定义初始值和时间段
x0 = 1.0
y0 = 1.0
t0 = 0.0
tn = 2.0

# 定义参数
N = 10
M = 5

# 使用序列函数和并行函数求解随机微分方程
t1, y1 = F(x0, y0, t0, tn, N)
t2, y2 = G(x0, y0, t0, tn, N, M)

# 绘制结果
plt.plot(t1, y1, 'r-', label='F')
plt.plot(t2, y2, 'b-', label='G')
plt.legend()
plt.show()

在上述代码中，我们首先定义了随机微分方程f(x,y)，该方程包含一个随机项。然后定义了序列函数F(x0,y0,t0,tn,N)，该函数使用欧拉显式方法求解随机微分方程，并返回时间和解向量。接下来定义了序列函数的雅可比矩阵J(x,y)。

然后我们定义了并行函数G(x0,y0,t0,tn,N,M)，该函数使用Parareal算法求解随机微分方程，并返回时间和解向量。在该函数中，我们首先调用序列函数F(x0,y0,t0,tn,N)求解一次随机微分方程，然后使用Parareal算法对解进行迭代修正。最后我们使用初始值和时间段以及参数N和M来调用序列函数F(x0,y0,t0,tn,N)和并行函数G(x0,y0,t0,tn,N,M)求解随机微分方程，并绘制结果。

值得注意的是，以上代码仅供参考，实际上Parareal算法的实现可能更为复杂。此外，在实际应用中，还需要考虑如何选择合适的时间步长和迭代次数等参数。